# Derivada de arccos x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de arccos x é −1/√(1 − x²). Veja a demonstração, por que ela é a oposta da derivada do arcsen, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-arccos-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\arccos u = -\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
- **Domínio de arccos x:** $[-1, 1]$
- **Imagem de arccos x:** $[0, \pi]$
- **Identidade-chave:** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

## Pontos principais

- A derivada de $\arccos x$ é $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$.
- Ela é exatamente a oposta da derivada de $\arcsin x$, porque $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$.
- A derivada é sempre negativa, então $\arccos x$ é sempre decrescente.

A **derivada de $\arccos x$ é $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**. Ela é igual à [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x) com um sinal de menos na frente, e existe um bom motivo para isso.

$$\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

## Gráfico de arccos x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = arccos x e de sua derivada'
caption: 'O arco cosseno cai de $\pi$ até $0$. Sua inclinação é $-1$ em $x = 0$ e fica muito íngreme perto de $x = \pm 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-4, 3.5]
functions:
  - expr: arccos(x)
    label: y = arccos x
    domain: [-1, 1]
  - expr: -1/sqrt(1-x^2)
    label: y = −1/√(1 − x²) (derivada)
    dashed: true
    domain: [-0.97, 0.97]
points:
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [0, -1, 'inclinação −1']
```

## Demonstração da derivada de arccos x

Seja $y = \arccos x$, então $\cos y = x$ com $0 \le y \le \pi$. Use [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation):

$$-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$$

Em $[0, \pi]$ o seno nunca é negativo, então $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. Isso dá

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

## Uma demonstração mais rápida usando o arcsen

Para todo $x$ em $[-1, 1]$,

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

Imagine um triângulo retângulo: se um ângulo agudo tem seno $x$, o outro tem cosseno $x$, e os dois ângulos somam $\frac{\pi}{2}$. Derive os dois lados. O lado direito é uma constante, então sua derivada é $0$:

$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{d}{dx}\arccos x = 0$$

Portanto a derivada do arccos é a derivada do arcsen com o sinal trocado. Essa é uma boa forma de memorizá-la.

## Versão com a regra da cadeia: derivada de arccos(u)

$$\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\arccos(3x)$ | $3x$ | $-\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$ |
| $\arccos(x^2)$ | $x^2$ | $-\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| $\arccos(\sqrt{x})$ | $\sqrt{x}$ | $-\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1 - x}}$ |
| $\arccos\!\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\frac{x}{2}$ | $-\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra do produto.** Para $f(x) = x^2\arccos x$, a [regra do produto](/rules/product-rule) dá

$$f'(x) = 2x\arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**Exemplo 2: inclinação em um ponto.** Em $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, a inclinação de $\arccos x$ é

$$-\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{1/2} = -2$$

**Exemplo 3: reta tangente.** Em $x = 0$ a curva passa por $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ com inclinação $-1$, então a reta tangente é $y = \frac{\pi}{2} - x$.

## Erros comuns

1. **Esquecer o sinal de menos.** É a única diferença em relação ao arcsen, e a coisa mais fácil de perder.
2. **Achar que $\cos^{-1} x = \sec x$.** O inverso multiplicativo do cosseno é a secante. $\cos^{-1}$ é a função inversa.
3. **Esquecer o $u'$.** $\frac{d}{dx}\arccos(5x) = -\frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}$, não $-\frac{1}{\sqrt{1 - 25x^2}}$.
4. **Usá-la em $x = \pm 1$.** A tangente é vertical ali, então não há derivada.

Raramente você verá $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ integrada como arccos, já que $-\arcsin x + C$ é a mesma família de respostas. Veja a página da [função arco cosseno](/functions/arccosine) para o gráfico e a imagem, e pratique com os [exercícios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de arccos x?

A derivada de $\arccos x$ (também escrito $\cos^{-1} x$) é $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$.

### Por que a derivada de arccos x é negativa?

Porque $\arccos x$ cai de $\pi$ até $0$ quando $x$ vai de $-1$ até $1$. Uma função decrescente tem derivada negativa.

### Qual é a derivada de arccos(2x)?

Pela regra da cadeia, é $-\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$, válida para $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

### Qual é a derivada de arcsen x + arccos x?

É $0$. As duas derivadas se cancelam, o que confere com a identidade $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, uma constante.