# Derivada de arccotg x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de arccotg x é −1/(1 + x²). Veja a demonstração a partir de cotg y = x, a relação com o arctg, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-arccotg-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-\dfrac{1}{1 + x^2}$ para todo $x$ real
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\dfrac{u'}{1 + u^2}$
- **Domínio de arccotg x:** todos os números reais
- **Imagem de arccotg x:** $(0, \pi)$
- **Identidade-chave:** $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$

## Pontos principais

- A derivada de $\operatorname{arccot} x$ é $-\frac{1}{1 + x^2}$.
- Ela é a oposta da derivada do arctg, porque $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}$.
- A arccotg é sempre decrescente, com sua inclinação mais acentuada, $-1$, em $x = 0$.

A **derivada de $\operatorname{arccot} x$ é $-\dfrac{1}{1 + x^2}$**. Ela é a [derivada de arctg x](/derivatives/arctan-x) com um sinal de menos, e vale para todo número real.

$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}$$

## Gráfico de arccotg x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = arccotg x e de sua derivada'
caption: 'O arco cotangente cai de $\pi$ em direção a $0$. Sua inclinação é $-1$ em $x = 0$ e tende a $0$ longe da origem.'
x: [-6, 6]
y: [-1.5, 3.5]
functions:
  - expr: pi/2 - arctan(x)
    label: y = arccotg x
  - expr: -1/(1+x^2)
    label: y = −1/(1 + x²) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [0, -1, 'inclinação −1']
```

## Demonstração a partir de cotg y = x

Seja $y = \operatorname{arccot} x$, então $\cot y = x$ com $0 < y < \pi$. Derive usando [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation), com $\frac{d}{dy}\cot y = -\csc^2 y$ (veja a [derivada de cotg x](/derivatives/cot-x)):

$$-\csc^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}$$

A identidade $\csc^2 y = 1 + \cot^2 y = 1 + x^2$ conclui:

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}$$

## Demonstração a partir do arctg

Com imagem $(0, \pi)$, arccotg e arctg se relacionam por

$$\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$$

A derivada da constante $\frac{\pi}{2}$ é $0$, então a derivada da arccotg é simplesmente menos a derivada do arctg. Essa identidade também é a forma como o gráfico acima foi desenhado.

## Uma observação sobre convenções

Alguns livros e programas definem $\operatorname{arccot} x = \arctan\frac{1}{x}$, que tem imagem $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ e dá um salto em $x = 0$. A derivada continua a mesma onde quer que a função esteja definida:

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = -\frac{1}{x^2 + 1}$$

Portanto a fórmula pode ser usada com segurança nos dois casos. Só os valores da função mudam.

## Versão com a regra da cadeia e exemplos

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}$$

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $\operatorname{arccot}(3x)$ | $-\frac{3}{1 + 9x^2}$ |
| $\operatorname{arccot}(x^2)$ | $-\frac{2x}{1 + x^4}$ |
| $\operatorname{arccot}(\ln x)$ | $-\frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}$ |
| $\operatorname{arccot}(e^x)$ | $-\frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |

**Exemplo resolvido.** Derive $f(x) = x\operatorname{arccot} x$ com a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$f'(x) = \operatorname{arccot} x - \frac{x}{1 + x^2}$$

Em $x = 1$: $\operatorname{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}$, então $f'(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0.285$.

## Erros comuns

1. **Escrever $-\csc^2 x$.** Essa é a derivada de $\cot x$, não da inversa.
2. **Perder o sinal de menos.** A arccotg é decrescente, então sua inclinação tem de ser negativa.
3. **Esquecer o $u'$.** $\operatorname{arccot}(5x)$ dá $-\frac{5}{1 + 25x^2}$.
4. **Achar que a integral precisa da arccotg.** Como as derivadas diferem só no sinal, $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ costuma ser escrita como $\arctan x + C$. A resposta $-\operatorname{arccot} x + C$ também está correta, porque as duas diferem por uma constante.

As seis derivadas das trigonométricas inversas vêm em pares: arcsen e [arccos](/derivatives/arccos-x), arctg e arccotg, [arcsec](/derivatives/arcsec-x) e arccossec. A segunda de cada par tem um sinal de menos. Pratique com os [exercícios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de arccotg x?

A derivada de $\operatorname{arccot} x$ (também escrito $\cot^{-1} x$) é $-\frac{1}{1 + x^2}$.

### Qual é a derivada de arccotg(2x)?

Pela regra da cadeia, é $-\frac{2}{1 + 4x^2}$.

### arccotg x é igual a arctg(1/x)?

Só para $x > 0$. Para $x < 0$ elas diferem por $\pi$. De qualquer forma, onde as duas estão definidas, têm a mesma derivada, $-\frac{1}{1 + x^2}$.

### Qual é a derivada de arctg x + arccotg x?

É $0$, já que a soma é a constante $\frac{\pi}{2}$.