# Derivada de arcsec x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de arcsec x é 1/(|x|√(x² − 1)). Veja de onde vem o módulo, a demonstração via arccos(1/x) e exemplos com a regra da cadeia.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-arcsec-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ para $\lvert x\rvert > 1$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \dfrac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}$
- **Domínio de arcsec x:** $x \le -1$ ou $x \ge 1$
- **Imagem de arcsec x:** $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$
- **Derivada de arccossec:** $-\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$

## Pontos principais

- A derivada de $\operatorname{arcsec} x$ é $\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ para $\lvert x\rvert > 1$.
- O módulo vem da imagem $[0, \pi]$, que torna o arcsec crescente nas duas partes do seu domínio.
- Como $\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}$, a derivada sai da regra do arccos e da regra da cadeia.
- A derivada de $\operatorname{arccsc} x$ é a mesma expressão com um sinal de menos.

A **derivada de $\operatorname{arcsec} x$ é $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$**. Ela está definida para $\lvert x\rvert > 1$, os mesmos valores que a secante pode produzir.

$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad \lvert x\rvert > 1$$

Para $x > 1$, onde está a maioria dos exercícios, isso é simplesmente $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$.

## Gráfico de arcsec x

```graph
title: 'Gráfico de y = arcsec x, desenhado como arccos(1/x)'
caption: 'As duas partes do arco secante sobem. A parte da direita começa em $(1, 0)$ e a da esquerda termina em $(-1, \pi)$. Ambas se aproximam da reta $y = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-6, 6]
y: [-0.5, 3.5]
functions:
  - expr: arccos(1/x)
    label: y = arcsec x
    domain: [1, 6]
  - expr: arccos(1/x)
    label: y = arcsec x
    domain: [-6, -1]
  - expr: 1.5708
    label: y = π/2
    dashed: true
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [-1, 3.1416, '(−1, π)']
```

Os dois ramos sobem da esquerda para a direita, então a derivada é positiva em todo o domínio. É exatamente por isso que a fórmula tem $\lvert x\rvert$: sem o módulo, ela daria inclinações negativas para $x < -1$, o que não corresponde ao desenho.

## Demonstração usando o arccos

A imagem usual do arcsec torna verdadeira esta identidade:

$$\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}$$

Derive com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) e a [derivada de arccos x](/derivatives/arccos-x):

$$\frac{d}{dx}\arccos\frac{1}{x} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}$$

Agora simplifique a raiz: $\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\lvert x\rvert}$. Então

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{\lvert x\rvert}{x^2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$$

usando $x^2 = \lvert x\rvert^2$. O módulo aparece naturalmente de $\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert$.

## Versão com a regra da cadeia e exemplos

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \frac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x^2) = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^4 - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^4 - 1}}$ para $\lvert x\rvert > 1$. Aqui $\lvert x^2\rvert = x^2$, então não sobra nenhum módulo.

**Exemplo 2.** Para $x > 0$, $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(e^x) = \frac{e^x}{e^x\sqrt{e^{2x} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}$.

**Exemplo 3: inclinação em um ponto.** Em $x = 2$, a inclinação de $\operatorname{arcsec} x$ é $\frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.289$. Como $\operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}$, a reta tangente é $y = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}(x - 2)$.

## A derivada do arccossec

Como $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$, as derivadas são opostas:

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$$

## Erros comuns

1. **Esquecer o módulo** e acabar com inclinações negativas para $x < -1$.
2. **Misturar convenções de livros.** Verifique qual imagem o seu curso usa para o arcsec antes de copiar uma fórmula.
3. **Confundir $\sec^{-1} x$ com $\cos x$.** $\sec^{-1}$ é a inversa da secante, enquanto $\frac{1}{\sec x} = \cos x$.
4. **Usá-la para $-1 < x < 1$.** Nenhum ângulo tem secante entre $-1$ e $1$, então o arcsec e sua derivada não existem ali.

A fórmula também fornece uma integral: $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcsec}\lvert x\rvert + C$. Para mais, veja os [exercícios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives) e as [funções trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de arcsec x?

A derivada de $\operatorname{arcsec} x$ é $\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ para $\lvert x\rvert > 1$. Para $x > 1$ isso é simplesmente $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$.

### Por que alguns livros escrevem x√(x² − 1) sem o módulo?

Esses livros escolhem outra imagem para o arcsec, $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$. Com essa escolha a fórmula é $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$. Com a imagem mais comum, $[0, \pi]$, você precisa de $\lvert x\rvert$.

### Qual é a derivada de arccossec x?

É $-\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$, a oposta da derivada do arcsec, porque $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$.

### Qual é a derivada de arcsec(2x)?

Pela regra da cadeia, é $\frac{2}{\lvert 2x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}}$, válida para $\lvert x\rvert > \frac{1}{2}$.