# Derivada de arcsen x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de arcsen x é 1/√(1 − x²). Veja a demonstração a partir de sen y = x, a forma com a regra da cadeia para arcsen(u), o gráfico e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-arcsen-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\arcsin u = \dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
- **Domínio de arcsen x:** $[-1, 1]$
- **Imagem de arcsen x:** $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- **Versão para integrais:** $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\arcsin x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, válida para $-1 < x < 1$.
- A demonstração usa derivação implícita em $\sin y = x$ e a identidade $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$.
- A derivada é sempre positiva, então $\arcsin x$ é sempre crescente, e ela explode em $x = \pm 1$.

A **derivada de $\arcsin x$ é $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**. Ela vale no intervalo aberto $-1 < x < 1$, onde o arco seno é suave.

$$\frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

## Gráfico de arcsen x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = arcsen x e de sua derivada'
caption: 'A inclinação de $\arcsin x$ é mínima em $x = 0$, onde vale $1$, e cresce sem limite perto de $x = \pm 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-2, 4]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsen x
    domain: [-1, 1]
  - expr: 1/sqrt(1-x^2)
    label: y = 1/√(1 − x²) (derivada)
    dashed: true
    domain: [-0.97, 0.97]
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'inclinação 1']
```

A derivada nunca é negativa, então $\arcsin x$ está sempre subindo. Sua menor inclinação é $1$, na origem, e a curva fica vertical nas extremidades $(\pm 1, \pm\frac{\pi}{2})$.

## Demonstração da derivada de arcsen x

Seja $y = \arcsin x$. Então $\sin y = x$ com $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. Derive os dois lados com [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation):

$$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

Agora escreva $\cos y$ em função de $x$. De $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ obtemos $\cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. Em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ o cosseno nunca é negativo, então tomamos a raiz positiva:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

A mesma ideia funciona para toda função inversa, veja a [derivada da função inversa](/rules/inverse-function-rule).

## Versão com a regra da cadeia: derivada de arcsen(u)

Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule), coloque a derivada da função de dentro no numerador:

$$\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\arcsin(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$ |
| $\arcsin(x^2)$ | $x^2$ | $\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| $\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)$, $a > 0$ | $\frac{x}{a}$ | $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ |
| $\arcsin(e^x)$ | $e^x$ | $\frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}}$ |

Vale a pena guardar a terceira linha. É por causa dela que $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um produto.** Derive $f(x) = x\arcsin x$ com a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$f'(x) = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**Exemplo 2: inclinação em um ponto.** A inclinação de $y = \arcsin x$ em $x = \frac{1}{2}$ é

$$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$$

**Exemplo 3: uma potência do arcsen.** Para $g(x) = (\arcsin x)^2$ a função de fora é um quadrado:

$$g'(x) = 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

## Erros comuns

1. **Ler $\sin^{-1} x$ como $\frac{1}{\sin x}$.** O $-1$ indica função inversa, não inverso multiplicativo.
2. **Esquecer a derivada da função de dentro.** $\frac{d}{dx}\arcsin(3x)$ é $\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$, não $\frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$.
3. **Elevar ao quadrado só o $x$ na regra da cadeia.** Dentro da raiz você precisa de $1 - u^2$, então $\arcsin(x^2)$ dá $\sqrt{1 - x^4}$, não $\sqrt{1 - x^2}$.
4. **Confundir o sinal com o do arccos.** A [derivada de arccos x](/derivatives/arccos-x) é a mesma expressão com um sinal de menos.

No sentido inverso, a [integral de 1/√(1 − x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared) é $\arcsin x + C$, e a [integral de arcsen x](/integrals/arcsin-x) usa integração por partes. Pratique mais com os [exercícios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives) ou leia sobre a [função arco seno](/functions/arcsine).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de arcsen x?

A derivada de $\arcsin x$ (também escrito $\sin^{-1} x$) é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$.

### Qual é a derivada de arcsen(2x)?

Pela regra da cadeia, é $\frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$, válida para $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

### A derivada de arcsen x está definida em x = 1?

Não. Em $x = \pm 1$ o denominador $\sqrt{1 - x^2}$ é zero e o gráfico de $\arcsin x$ tem tangente vertical, então a derivada não existe ali.

### sen⁻¹ x é o mesmo que 1/sen x?

Não. $\sin^{-1} x$ significa a função inversa $\arcsin x$. O inverso multiplicativo $\frac{1}{\sin x}$ é $\csc x$, cuja derivada é $-\csc x\cot x$.