# Derivada de arctg x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de arctg x é 1/(1 + x²). Veja a demonstração a partir de tg y = x, exemplos com a regra da cadeia como arctg(2x) e arctg(x²) e o gráfico.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-arctg-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\dfrac{1}{1 + x^2}$ para todo $x$ real
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\arctan u = \dfrac{u'}{1 + u^2}$
- **Domínio de arctg x:** todos os números reais
- **Imagem de arctg x:** $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
- **Versão para integrais:** $\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\arctan x$ é $\frac{1}{1 + x^2}$, e vale para todo $x$ real.
- A demonstração usa $\tan y = x$ e a identidade $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$.
- A inclinação é máxima em $x = 0$, onde vale $1$, e tende a $0$ quando $x \to \pm\infty$.

A **derivada de $\arctan x$ é $\dfrac{1}{1 + x^2}$**. Ao contrário do arcsen e do arccos, não há raiz quadrada nem restrição de domínio: a fórmula vale para todo número real.

$$\frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$$

## Gráfico de arctg x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = arctg x e de sua derivada y = 1/(1 + x²)'
caption: 'O arco tangente sobe mais rápido na origem, com inclinação $1$, e depois se estabiliza em direção às assíntotas horizontais $y = \pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-6, 6]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctg x
  - expr: 1/(1+x^2)
    label: y = 1/(1 + x²) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'inclinação 1']
```

A derivada é uma curva em forma de sino, sempre positiva, então $\arctan x$ é sempre crescente. Como a derivada tende a $0$ nas duas extremidades, o gráfico fica cada vez mais plano em direção a $\pm\frac{\pi}{2}$.

## Demonstração da derivada de arctg x

Seja $y = \arctan x$, então $\tan y = x$ com $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$. Derive os dois lados com [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation), usando a [derivada de tg x](/derivatives/tan-x):

$$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$$

A identidade pitagórica $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ transforma isso em uma expressão em $x$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$$

Desta vez não é preciso escolher sinal, já que $1 + x^2$ é sempre positivo.

## Versão com a regra da cadeia: derivada de arctg(u)

Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$$

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\arctan(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{1 + 4x^2}$ |
| $\arctan(x^2)$ | $x^2$ | $\frac{2x}{1 + x^4}$ |
| $\arctan(e^x)$ | $e^x$ | $\frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |
| $\arctan(\sqrt{x})$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$ |
| $\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)$ | $\frac{x}{a}$ | $\frac{a}{a^2 + x^2}$ |

A última linha fornece a integral padrão $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: arctg de 1/x.** Para $x \ne 0$,

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{x^2 + 1}$$

Isso é o oposto da derivada do arctg, então $\arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ é constante de cada lado de $0$. Vale $\frac{\pi}{2}$ para $x > 0$ e $-\frac{\pi}{2}$ para $x < 0$.

**Exemplo 2: regra do produto.** Para $f(x) = x\arctan x$:

$$f'(x) = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$$

**Exemplo 3: reta tangente.** Em $x = 1$, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ e a inclinação é $\frac{1}{2}$. A reta tangente é $y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1)$.

## Erros comuns

1. **Escrever $\sec^2 x$.** Essa é a derivada de $\tan x$, não de $\arctan x$.
2. **Escrever $\frac{1}{1 + x}$.** O $x$ está ao quadrado. Confira: em $x = 1$ a inclinação tem de ser $\frac{1}{2}$.
3. **Esquecer de elevar ao quadrado toda a função de dentro.** $\arctan(3x)$ dá $1 + 9x^2$, não $1 + 3x^2$.
4. **Confundir com $\frac{1}{\tan x} = \cot x$.** $\tan^{-1} x$ é a função inversa.

Lida de trás para frente, esta derivada fornece a [integral de 1/(1 + x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared). A própria [integral de arctg x](/integrals/arctan-x) usa integração por partes. Veja também a [função arco tangente](/functions/arctangent) e os [exercícios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de arctg x?

A derivada de $\arctan x$ (também escrito $\tan^{-1} x$) é $\frac{1}{1 + x^2}$.

### Qual é a derivada de arctg(2x)?

Pela regra da cadeia, é $\frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

### Qual é a derivada de arctg(x²)?

A derivada da função de dentro é $2x$, então a resposta é $\frac{2x}{1 + x^4}$.

### Qual é a integral de 1/(1 + x²)?

É $\arctan x + C$. É a derivada de $\arctan x$ lida de trás para frente.