# Derivada de cos²x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de cos²x é -2 sen x cos x, que é igual a -sen 2x. Veja a demonstração pela regra da cadeia, a conferência por identidade e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-cos-ao-quadrado-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-2\sin x\cos x$
- **Simplificada:** $-\sin 2x$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u'$
- **Não é o mesmo que:** $\cos(x^2)$, cuja derivada é $-2x\sin(x^2)$
- **Integral de cos²x:** $\int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\cos^2 x$ é $-2\sin x\cos x = -\sin 2x$.
- Leia $\cos^2 x$ como $(\cos x)^2$ e depois use a regra da cadeia.
- Ela é exatamente a oposta da derivada de $\sin^2 x$, porque $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- A identidade $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ dá o mesmo resultado.

A **derivada de $\cos^2 x$ é $-2\sin x\cos x$**, que é o mesmo que $-\sin 2x$.

$$\frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x$$

## Gráfico de cos²x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = cos²x e de sua derivada y = -sen 2x'
caption: '$\cos^2 x$ começa no seu pico, $1$, quando $x = 0$, e desce. Sua derivada $-\sin 2x$ é negativa enquanto ela desce e positiva enquanto ela sobe.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.6]
functions:
  - expr: cos(x)^2
    label: y = cos²x
  - expr: -sin(2x)
    label: y = -sen 2x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'pico, inclinação 0']
  - [0.7854, 0.5, 'inclinação -1']
```

## Demonstração pela regra da cadeia

$\cos^2 x$ significa $(\cos x)^2$. A função de fora é o quadrado e a de dentro é $\cos x$. Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) e a [derivada de cos x](/derivatives/cos-x):

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^2 = 2\cos x\cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x$$

Como $2\sin x\cos x = \sin 2x$, isso é $-\sin 2x$.

## Conferência com uma identidade de redução de potência

Use $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\right) = \frac{1}{2}\cdot(-2\sin 2x) = -\sin 2x$$

## Conferência com sen²x

Como $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, sua derivada tem de ser $0 - \sin 2x$, a oposta da [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x). Os dois gráficos são simétricos em relação à reta $y = \frac{1}{2}$, então suas inclinações são sempre opostas.

## Variações com a regra da cadeia

$$\frac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u' = -\sin(2u)\cdot u'$$

| Função | Derivada | Simplificada |
| --- | --- | --- |
| $\cos^2(4x)$ | $-8\cos 4x\sin 4x$ | $-4\sin 8x$ |
| $\cos^2(x^2)$ | $-4x\cos(x^2)\sin(x^2)$ | $-2x\sin(2x^2)$ |
| $\cos^2(\pi x)$ | $-2\pi\cos(\pi x)\sin(\pi x)$ | $-\pi\sin(2\pi x)$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um valor.** Em $x = \frac{\pi}{6}$, a inclinação é $-\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$.

**Exemplo 2: uma potência maior.** $\frac{d}{dx}\cos^3 x = 3\cos^2 x\cdot(-\sin x) = -3\cos^2 x\sin x$.

**Exemplo 3: um produto.** $\frac{d}{dx}\left(x\cos^2 x\right) = \cos^2 x - x\sin 2x$.

**Exemplo 4: onde a curva é plana?** $-\sin 2x = 0$ quando $x = \frac{k\pi}{2}$. Nos múltiplos pares de $\frac{\pi}{2}$, $\cos^2 x = 1$ (picos). Nos múltiplos ímpares, $\cos^2 x = 0$ (vales).

## Onde você vai encontrá-la

A função $\cos^2 x$ aparece na física e na engenharia sempre que algo é elevado ao quadrado depois de uma onda cosseno. A potência de uma corrente alternada é proporcional a $\cos^2(\omega t)$, e a intensidade da luz polarizada que atravessa um filtro segue $\cos^2\theta$. Em cada caso a derivada diz com que rapidez essa grandeza varia. Como o resultado se simplifica para $-\sin 2x$, a taxa de variação é ela mesma uma onda simples, duas vezes mais rápida que o cosseno original. Escrever a resposta nessa forma curta também facilita encontrar onde a inclinação é zero, positiva ou negativa.

## Erros comuns

1. **Perder o sinal de menos.** É a derivada de dentro, $-\sin x$, que o traz.
2. **Responder $2\cos x$ ou $-\sin^2 x$.** Nenhuma das duas aplica a regra da cadeia corretamente.
3. **Confundir $\cos^2 x$ com $\cos(x^2)$.** $\frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2)$.

A integral de $\cos^2 x$ usa a mesma identidade, veja a [integral de cos²x](/integrals/cos-squared-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de cos²x?

É $-2\sin x\cos x$, que se simplifica para $-\sin 2x$.

### Qual é a derivada de cos²(2x)?

Pela regra da cadeia, $2\cos(2x)\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -4\sin(2x)\cos(2x) = -2\sin(4x)$.

### Por que aparece um sinal de menos?

A derivada da função de dentro é $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$. O sinal de menos vem daí.

### Qual é a derivada de cos²x - sen²x?

Como $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$, a derivada é $-2\sin 2x$. Termo a termo, $-\sin 2x - \sin 2x$ dá o mesmo.