# Derivada de cos x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de cos x é -sen x. Veja a demonstração por limite, uma demonstração rápida a partir do sen x, a regra da cadeia para cos(u) e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-cos-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-\sin x$ para todo $x$ real
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'$
- **Derivada segunda:** $-\cos x$
- **Unidades:** $x$ precisa estar em radianos
- **Versão para integrais:** $\int \cos x\,dx = \sin x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\cos x$ é $-\sin x$. Não esqueça o sinal de menos.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'$.
- Toda função com "co" (cos, cotg, cossec) tem um sinal de menos na derivada.
- As quatro derivadas de $\cos x$ formam um ciclo: $-\sin x$, $-\cos x$, $\sin x$, $\cos x$.

A **derivada de $\cos x$ é $-\sin x$**. O cosseno começa no seu pico em $x = 0$ e desce, então sua inclinação para $x$ positivo pequeno é negativa, o que confere com $-\sin x < 0$.

$$\frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x$$

## Gráfico de cos x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = cos x e de sua derivada y = -sen x'
caption: 'Onde $\cos x$ desce, $-\sin x$ fica abaixo do eixo. No pico $x = 0$ a inclinação é $0$, e em $x = \frac{\pi}{2}$ a inclinação é $-1$.'
x: [-6.5, 6.5]
y: [-1.8, 1.8]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: -sin(x)
    label: y = -sen x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'pico, inclinação 0']
  - [1.5708, 0, 'inclinação -1']
```

## Demonstração pela definição de limite

A fórmula do cosseno da soma dá $\cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h$. Então

$$\frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = \cos x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} - \sin x\cdot\frac{\sin h}{h}$$

Com $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$ e $\frac{\sin h}{h} \to 1$:

$$\frac{d}{dx}\cos x = \cos x\cdot 0 - \sin x\cdot 1 = -\sin x$$

## Uma demonstração mais rápida usando sen x

Escreva $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Então, pela [regra da cadeia](/rules/chain-rule) e pela [derivada de sen x](/derivatives/sin-x):

$$\frac{d}{dx}\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\cdot(-1) = -\sin x$$

usando $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$. O $-1$ da função de dentro é de onde vem o sinal de menos.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de cos(u)

$$\frac{d}{dx}\,\cos u = -\sin u\cdot u'$$

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\cos(5x)$ | $5x$ | $-5\sin(5x)$ |
| $\cos(x^3)$ | $x^3$ | $-3x^2\sin(x^3)$ |
| $\cos(1 - x)$ | $1 - x$ | $\sin(1 - x)$ |
| $\cos(\ln x)$ | $\ln x$ | $-\frac{\sin(\ln x)}{x}$ |

Na terceira linha dois sinais de menos se cancelam.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um produto.** $\frac{d}{dx}\left(e^x\cos x\right) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x)$, pela [regra do produto](/rules/product-rule).

**Exemplo 2: um quociente.** $\frac{d}{dx}\frac{\cos x}{x} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}$, pela [regra do quociente](/rules/quotient-rule).

**Exemplo 3: movimento.** A posição de uma mola é $s(t) = 4\cos(2t)$. Sua velocidade é $v(t) = -8\sin(2t)$ e sua aceleração é $a(t) = -16\cos(2t) = -4s(t)$. A aceleração sempre aponta de volta para o centro.

**Exemplo 4: uma tangente horizontal.** $\frac{d}{dx}(x + 2\cos x) = 1 - 2\sin x$. Ela vale $0$ quando $\sin x = \frac{1}{2}$, ou seja, em $x = \frac{\pi}{6}$ e $x = \frac{5\pi}{6}$ no intervalo $[0, 2\pi)$.

## Como lembrar o sinal

Imagine o círculo trigonométrico. O cosseno é a coordenada horizontal. Quando o ângulo cresce a partir de $0$, o ponto se move para cima e para a esquerda, então a coordenada horizontal diminui. Uma grandeza que diminui tem taxa de variação negativa, e é por isso que a derivada é $-\sin x$ e não $+\sin x$.

## Erros comuns

1. **Esquecer o sinal de menos.** Este é o erro mais comum nas derivadas trigonométricas. Lembre: funções com "co" levam um menos.
2. **Confusão com dois sinais de menos.** $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$, positivo.
3. **Esquecer o $u'$.** $\frac{d}{dx}\cos(4x) = -4\sin(4x)$, não $-\sin(4x)$.

O caminho inverso está na página da [integral de cos x](/integrals/cos-x). A página da [função cosseno](/functions/cosine-function) mostra seu gráfico e seus valores principais.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de cos x?

A derivada de $\cos x$ é $-\sin x$.

### Qual é a derivada de cos(2x)?

Pela regra da cadeia, $-\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.

### Por que a derivada de cos x é negativa?

Logo à direita de $x = 0$, o cosseno começa a cair do seu pico enquanto o seno é positivo. Uma curva descendo tem inclinação negativa, então a derivada tem de ser $-\sin x$, e não $\sin x$.

### Qual é a derivada de cos²x?

É $2\cos x \cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x = -\sin 2x$.