# Derivada de cosh x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de cosh x é senh x, sem sinal de menos. Veja a demonstração por exponenciais, o exemplo do cabo suspenso, a regra da cadeia e o gráfico.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-cosh-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\sinh x$
- **Definição:** $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$
- **Identidade-chave:** $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- **Derivada da inversa:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ para $x > 1$

## Pontos principais

- A derivada de $\cosh x$ é $\sinh x$, sem sinal de menos.
- A demonstração usa $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ e a derivada de $e^{-x}$.
- Como $\sinh x$ muda de sinal em $0$, $\cosh x$ desce para $x < 0$, sobe para $x > 0$ e tem mínimo $1$ em $x = 0$.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$.

A **derivada de $\cosh x$ é $\sinh x$**. Atenção ao sinal: ao contrário do cosseno circular, não há sinal de menos.

$$\frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x$$

## Demonstração pela definição

O cosseno hiperbólico é a média de $e^x$ e $e^{-x}$:

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Derive cada parte. A [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) é $e^x$, e a [derivada de e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) é $-e^{-x}$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x$$

## Gráfico de cosh x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = cosh x e de sua derivada y = senh x'
caption: 'O cosseno hiperbólico tem formato de U, com mínimo em $(0, 1)$. Sua inclinação, $\sinh x$, é negativa à esquerda, zero no fundo e positiva à direita.'
x: [-3, 3]
y: [-6, 6]
functions:
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x
  - expr: sinh(x)
    label: y = senh x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'mínimo (0, 1)']
  - [0, 0, 'inclinação 0']
```

A derivada $\sinh x$ é negativa para $x < 0$ e positiva para $x > 0$, então $x = 0$ é um ponto de mínimo. A derivada segunda é $\cosh x \ge 1 > 0$, então a curva tem concavidade para cima em todo o domínio.

## O cabo suspenso

Uma corrente ou um cabo pendurado sob o próprio peso assume a forma $y = a\cosh\frac{x}{a}$, chamada catenária. Sua inclinação em qualquer ponto é

$$\frac{dy}{dx} = a\sinh\frac{x}{a}\cdot\frac{1}{a} = \sinh\frac{x}{a}$$

Assim, o cabo é horizontal no ponto mais baixo e fica mais inclinado perto dos suportes. A fórmula do comprimento de arco também se simplifica bem, porque $1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u$:

$$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + \sinh^2\frac{x}{a}} = \cosh\frac{x}{a}$$

## Versão com a regra da cadeia e exemplos

$$\frac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$$

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $\cosh(2x)$ | $2\sinh(2x)$ |
| $\cosh(x^2)$ | $2x\sinh(x^2)$ |
| $\cosh(\ln x)$ | $\frac{\sinh(\ln x)}{x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$ |
| $\cosh^2 x$ | $2\cosh x\sinh x = \sinh 2x$ |
| $x\cosh x$ | $\cosh x + x\sinh x$ |

Na terceira linha, $\sinh(\ln x) = \frac{x - 1/x}{2}$, então dividir por $x$ dá $\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$.

**Exemplo resolvido: conferindo a identidade.** Derive $\cosh^2 x - \sinh^2 x$:

$$2\cosh x\sinh x - 2\sinh x\cosh x = 0$$

Derivada nula significa que a expressão é constante. Em $x = 0$ ela vale $1 - 0 = 1$, o que prova $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

## Derivada de arccosh x

Para $x > 1$, o argumento do cosseno hiperbólico (a inversa de cosh) tem derivada

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$

Faça $\cosh y = x$ com $y > 0$, então $\sinh y\,y' = 1$ e $\sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$.

## Erros comuns

1. **Escrever $-\sinh x$.** Copiar o padrão circular é o erro mais comum.
2. **Achar que $\cosh x$ pode ficar abaixo de 1.** Seu mínimo é $\cosh 0 = 1$.
3. **Esquecer a derivada da função de dentro.** $\frac{d}{dx}\cosh(4x) = 4\sinh(4x)$.

Veja a [derivada de senh x](/derivatives/sinh-x), a [derivada de tgh x](/derivatives/tanh-x) e a página das [funções hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions) para gráficos e identidades.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de cosh x?

A derivada de $\cosh x$ é $\sinh x$.

### A derivada de cosh x é −senh x?

Não. Esse é o padrão do cosseno circular, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$. Para o cosseno hiperbólico a resposta é $+\sinh x$.

### Qual é a derivada de cosh(2x)?

Pela regra da cadeia, é $2\sinh(2x)$.

### Qual é a derivada segunda de cosh x?

É $\cosh x$ de novo. Derivar duas vezes leva você de volta ao início.