# Derivada de cossec x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de cossec x é -cossec x cotg x. Veja a demonstração a partir de 1/sen x, a regra da cadeia para cossec(u), o gráfico e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-cossec-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-\csc x\cot x$ para $x \ne k\pi$
- **Em seno e cosseno:** $-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u \cdot u'$
- **Inclinação em x = π/2:** $-\csc\frac{\pi}{2}\cot\frac{\pi}{2} = 0$
- **Versão para integrais:** $\int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\csc x$ é $-\csc x\cot x$.
- Ela espelha a derivada de $\sec x$: troque cada função pela sua parceira "co" e acrescente um sinal de menos.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u\cdot u'$.
- Lida de trás para frente, ela dá $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$.

A **derivada de $\csc x$ é $-\csc x\cot x$**. A cossecante é $\frac{1}{\sin x}$ e, como toda função trigonométrica com "co", sua derivada leva um sinal de menos.

$$\frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x$$

## Gráfico de cossec x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = cossec x e de sua derivada y = -cossec x cotg x'
caption: 'Um ramo de $\csc x$ em $(0, \pi)$. Ele desce até um mínimo em $x = \frac{\pi}{2}$, onde a inclinação é $0$, e depois sobe.'
x: [-0.3, 3.5]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: csc(x)
    label: y = cossec x
    domain: [0.16, 2.98]
  - expr: -csc(x)cot(x)
    label: y = -cossec x cotg x (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.38, 2.76]
vertical:
  - x: 3.1416
    label: x = π
points:
  - [1.5708, 1, 'mínimo, inclinação 0']
```

## Demonstração pela regra da cadeia

Escreva $\csc x = (\sin x)^{-1}$. Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}(\sin x)^{-1} = -(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$$

Separe a fração:

$$-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x\cot x$$

Este é um caso particular do padrão da [derivada de 1/x](/derivatives/1-over-x), $\frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}$, com $u = \sin x$.

## Um padrão que vale a pena conhecer

As seis derivadas trigonométricas vêm em pares. Troque cada função pela sua parceira "co" e inverta o sinal:

| Função | Derivada | Parceira | Derivada |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ | $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |

Então, se você lembra a [derivada de sec x](/derivatives/sec-x), ganha a de $\csc x$ de graça.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de cossec(u)

$$\frac{d}{dx}\,\csc u = -\csc u\cot u\cdot u'$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\csc(3x) = -3\csc(3x)\cot(3x)$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\csc(x^2) = -2x\csc(x^2)\cot(x^2)$.

**Exemplo 3.** $\frac{d}{dx}\csc\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2}\csc\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2}$.

## Mais exemplos resolvidos

**Exemplo 4: um produto.** $\frac{d}{dx}(x^2\csc x) = 2x\csc x - x^2\csc x\cot x$.

**Exemplo 5: uma potência.** $\frac{d}{dx}\csc^2 x = 2\csc x\cdot(-\csc x\cot x) = -2\csc^2 x\cot x$.

**Exemplo 6: um valor.** Em $x = \frac{\pi}{6}$, $\csc\frac{\pi}{6} = 2$ e $\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, então a inclinação é $-2\sqrt{3} \approx -3.46$. A curva está descendo de forma acentuada ali, o que confere com o gráfico.

## Como ler o gráfico

Cada ramo da cossecante tem forma de U, acima ou abaixo do eixo. No ramo de cima, entre $0$ e $\pi$, a curva desce na metade esquerda e sobe na metade direita, com o ponto mais baixo em $x = \frac{\pi}{2}$. A derivada conta a mesma história: negativa à esquerda, zero no fundo, positiva à direita. Perto das assíntotas em $0$ e $\pi$ a curva é quase vertical, então a derivada cresce sem limite em valor absoluto ali. Ter essa imagem em mente é uma forma rápida de conferir o sinal de qualquer resposta que você calcular.

## Erros comuns

1. **Esquecer o sinal de menos.** A regra do "co": $\cos$, $\cot$ e $\csc$ têm todas derivadas negativas.
2. **Escrever $-\cot^2 x$ ou $-\csc^2 x$.** $-\csc^2 x$ é a derivada de $\cot x$. A derivada de $\csc x$ é $-\csc x\cot x$.
3. **Confundir o inverso.** $\csc x = \frac{1}{\sin x}$, não $\frac{1}{\cos x}$.

O lado das integrais está na página da [integral de cossec x](/integrals/csc-x). Para praticar mais, tente os [exercícios de derivadas trigonométricas](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de cossec x?

A derivada de $\csc x$ é $-\csc x\cot x$.

### Como demonstrar a derivada de cossec x?

Escreva $\csc x = (\sin x)^{-1}$. A regra da cadeia dá $-(\sin x)^{-2}\cos x = -\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x\cot x$.

### Qual é a derivada de cossec(2x)?

Pela regra da cadeia, $-2\csc(2x)\cot(2x)$.

### cossec x é o mesmo que csc x?

Sim. As duas notações significam $\frac{1}{\sin x}$, e a derivada de cossec x é $-\operatorname{cosec}x\cot x$.