# Derivada de cotg x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de cotg x é -cossec²x. Veja a demonstração pela regra do quociente, a forma -(1 + cotg²x), a regra da cadeia para cotg(u) e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-cotg-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-\csc^2 x$ para $x \ne k\pi$
- **Outras formas:** $-\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u \cdot u'$
- **Inclinação em x = π/2:** $-\csc^2\frac{\pi}{2} = -1$
- **Versão para integrais:** $\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\cot x$ é $-\csc^2 x$.
- Ela vem da regra do quociente aplicada a $\frac{\cos x}{\sin x}$ e de $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Como $-\csc^2 x \le -1$, $\cot x$ é decrescente em todo intervalo onde está definida.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u\cdot u'$.

A **derivada de $\cot x$ é $-\csc^2 x$**. Ela é a parceira "co" de $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$: troque pelas cofunções e acrescente um sinal de menos.

$$\frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x$$

## Gráfico de cotg x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = cotg x e de sua derivada y = -cossec²x'
caption: 'Um ramo de $\cot x$ em $(0, \pi)$. Ele sempre desce, e a inclinação é menos acentuada em $x = \frac{\pi}{2}$, onde vale $-1$.'
x: [-0.3, 3.5]
y: [-8, 6]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cotg x
    domain: [0.17, 2.97]
  - expr: -csc(x)^2
    label: y = -cossec²x (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.37, 2.77]
vertical:
  - x: 3.1416
    label: x = π
points:
  - [1.5708, 0, 'inclinação -1']
```

## Demonstração pela regra do quociente

Escreva $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ e use a [regra do quociente](/rules/quotient-rule):

$$\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(-\sin x)\sin x - \cos x\cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$$

O numerador é $-1$, então

$$\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$$

## Uma segunda demonstração a partir de tg x

Como $\cot x = (\tan x)^{-1}$, a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) e a [derivada de tg x](/derivatives/tan-x) dão

$$-(\tan x)^{-2}\sec^2 x = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

Mesmo resultado. A identidade $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ também permite escrever a resposta como $-(1 + \cot^2 x)$.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de cotg(u)

$$\frac{d}{dx}\,\cot u = -\csc^2 u\cdot u'$$

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\cot(2x)$ | $2x$ | $-2\csc^2(2x)$ |
| $\cot(x^3)$ | $x^3$ | $-3x^2\csc^2(x^3)$ |
| $\cot\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $-\frac{\csc^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ |
| $\cot(\pi - x)$ | $\pi - x$ | $\csc^2(\pi - x)$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma potência.** $\frac{d}{dx}\cot^2 x = 2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x$.

**Exemplo 2: um produto.** $\frac{d}{dx}(x\cot x) = \cot x - x\csc^2 x$.

**Exemplo 3: um valor.** Em $x = \frac{\pi}{4}$, $\csc\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$, então a inclinação é $-(\sqrt{2})^2 = -2$. A reta tangente por $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ é $y = 1 - 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

**Exemplo 4: o logaritmo do seno.** $\frac{d}{dx}\ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$. Derivando de novo obtemos $-\csc^2 x$. É por isso que $\int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$, veja a [integral de cotg x](/integrals/cot-x).

## Como memorizar

Associe $\cot x$ a $\tan x$. A derivada da tangente é $\sec^2 x$. Troque cada função pela sua parceira "co", tangente por cotangente e secante por cossecante, e coloque um sinal de menos na frente. Isso dá $-\csc^2 x$ sem precisar de demonstração. A mesma troca funciona para todos os pares de derivadas trigonométricas, então você só precisa decorar três dos seis resultados. Uma conferência rápida no gráfico confirma o sinal: cada ramo da cotangente desce da esquerda para a direita, então sua inclinação é sempre negativa. A inclinação fica mais acentuada perto das assíntotas nos múltiplos de $\pi$, onde $\csc^2 x$ explode.

## Erros comuns

1. **Esquecer o sinal de menos.** A cotangente é sempre decrescente, então sua derivada tem de ser negativa.
2. **Escrever $-\csc x\cot x$.** Essa é a [derivada de cossec x](/derivatives/csc-x), um resultado diferente.
3. **Escrever $-\sec^2 x$.** O quadrado vai na cossecante, a parceira da secante.

Para a família inteira em um só lugar, leia [derivadas das funções trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de cotg x?

A derivada de $\cot x$ é $-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

### Como demonstrar a derivada de cotg x?

Escreva $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. A regra do quociente dá $\frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

### Qual é a derivada de cotg(2x)?

Pela regra da cadeia, $-2\csc^2(2x)$.

### Qual é a derivada de cotg²x?

É $2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x$.