# Derivada de e^(2x): fórmula, passo a passo e exemplos

> A derivada de e^(2x) é 2e^(2x). Veja os passos com a regra da cadeia, uma segunda demonstração com (eˣ)², derivadas de ordem superior e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-e-elevado-a-2x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $2e^{2x}$
- **Derivada segunda:** $4e^{2x}$
- **Derivada de ordem n:** $2^n e^{2x}$
- **Forma geral:** $\dfrac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$
- **Versão para integrais:** $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $e^{2x}$ é $2e^{2x}$: a derivada do expoente, $2$, vai para a frente.
- De forma geral, $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$ para qualquer constante $k$.
- Cada nova derivada multiplica por mais um $2$, então a derivada de ordem $n$ é $2^n e^{2x}$.
- No sentido inverso, a integral divide por $2$: $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

A **derivada de $e^{2x}$ é $2e^{2x}$**. A exponencial continua exatamente a mesma, e a derivada do expoente, $2$, vai para a frente.

$$\frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x}$$

## Passo a passo com a regra da cadeia

Escreva $e^{2x}$ como uma função de fora $e^u$ com função de dentro $u = 2x$. A [regra da cadeia](/rules/chain-rule) diz que

$$\frac{d}{dx}e^u = e^u\cdot u'$$

1. A derivada de fora: a [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) é ela mesma, então $e^u$ continua sendo $e^{2x}$.
2. A derivada de dentro: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
3. Multiplique: $e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}$.

Os mesmos passos dão a regra geral $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$. Por exemplo, $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$ e $\frac{d}{dx}e^{x/3} = \frac{1}{3}e^{x/3}$.

## Uma segunda demonstração sem a regra da cadeia

Como $e^{2x} = (e^x)^2 = e^x\cdot e^x$, a [regra do produto](/rules/product-rule) também funciona:

$$\frac{d}{dx}(e^x\cdot e^x) = e^x\cdot e^x + e^x\cdot e^x = 2e^{2x}$$

Os dois métodos concordam, o que é uma boa conferência.

## Gráfico de e^(2x) e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = e^(2x) e de sua derivada y = 2e^(2x)'
caption: 'A derivada é sempre exatamente o dobro da altura da função. Em $x = 0$ a função vale $1$ e a inclinação é $2$.'
x: [-3, 1.5]
y: [-1, 10]
functions:
  - expr: exp(2x)
    label: y = e^(2x)
  - expr: 2exp(2x)
    label: y = 2e^(2x) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 2, 'inclinação 2']
```

A reta tangente em $x = 0$ tem inclinação $2$ e passa por $(0, 1)$, então é $y = 2x + 1$.

## Derivadas de ordem superior

A cada derivação sai mais um fator $2$:

| Derivada | Resultado |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $2e^{2x}$ |
| $f''(x)$ | $4e^{2x}$ |
| $f'''(x)$ | $8e^{2x}$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $2^n e^{2x}$ |

Esse padrão explica por que $y = e^{2x}$ resolve a equação diferencial $y'' = 4y$. Ele também explica a derivada primeira sozinha: $y' = 2y$ diz que a função cresce a uma taxa igual ao dobro do seu tamanho atual, que é a regra por trás do crescimento exponencial com constante de taxa $2$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra do produto.** Para $f(x) = xe^{2x}$,

$$f'(x) = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$$

Como $e^{2x} > 0$, o único ponto crítico é onde $1 + 2x = 0$, em $x = -\frac{1}{2}$.

**Exemplo 2: um expoente deslocado.** Para $g(x) = e^{2x + 1}$, a derivada de dentro continua sendo $2$:

$$g'(x) = 2e^{2x + 1}$$

**Exemplo 3: uma constante multiplicando.** Para $h(x) = 5e^{2x} - e^{-2x}$,

$$h'(x) = 10e^{2x} + 2e^{-2x}$$

O segundo termo troca de sinal porque $\frac{d}{dx}(-2x) = -2$.

## Erros comuns

1. **Esquecer o 2.** $\frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x}$ é o deslize mais comum. Sempre multiplique pela derivada de dentro.
2. **Descer o expoente como numa potência.** $2x\,e^{2x - 1}$ está errado; a regra da potência não se aplica.
3. **Escrever $2e^{x}$.** O expoente não muda. Ele continua sendo $2x$.
4. **Confundir a derivada com a integral.** A derivada multiplica por $2$; a integral divide por $2$.

Para o sentido inverso, veja a [integral de e^(2x)](/integrals/e-to-the-2x). Para praticar mais, tente os [exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de e^(2x)?

A derivada de $e^{2x}$ é $2e^{2x}$, pela regra da cadeia.

### Qual é a derivada segunda de e^(2x)?

Derive $2e^{2x}$ mais uma vez para obter $4e^{2x}$.

### Qual é a derivada de x·e^(2x)?

Pela regra do produto, $e^{2x} + 2xe^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$.

### A derivada de e^(2x) é 2x·e^(2x − 1)?

Não. Isso trata $e^{2x}$ como uma potência de $x$. O expoente contém a variável, então use a regra da exponencial junto com a regra da cadeia.