# Derivada de e^(−x): fórmula, passo a passo e exemplos

> A derivada de e^(−x) é −e^(−x). Veja os passos com a regra da cadeia, a conferência pela regra do quociente, derivadas de ordem superior e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-e-elevado-a-menos-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-e^{-x}$
- **Derivada segunda:** $e^{-x}$
- **Derivada de ordem n:** $(-1)^n e^{-x}$
- **Mesma função que:** $\dfrac{1}{e^x}$
- **Versão para integrais:** $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $e^{-x}$ é $-e^{-x}$. O sinal de menos vem da derivada de dentro, de $-x$.
- Os sinais se alternam: a derivada de ordem $n$ é $(-1)^n e^{-x}$.
- $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ é sempre positiva, mas sempre decrescente, e é por isso que sua derivada é negativa.
- A integral também é $-e^{-x} + C$, porque derivar $-e^{-x}$ devolve $e^{-x}$.

A **derivada de $e^{-x}$ é $-e^{-x}$**. A exponencial continua a mesma, e a derivada do expoente $-x$, que é $-1$, coloca um sinal de menos na frente.

$$\frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x}$$

## Passo a passo com a regra da cadeia

Pense em $e^{-x}$ como $e^u$ com $u = -x$. A [regra da cadeia](/rules/chain-rule) dá

$$\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}(-x) = e^{-x}\cdot(-1) = -e^{-x}$$

O passo de fora usa o fato de que a [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) é $e^x$.

## Conferência pela regra do quociente

Como $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$, a [regra do quociente](/rules/quotient-rule) deve concordar:

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x} = \frac{0\cdot e^x - 1\cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{-e^x}{e^{2x}} = -e^{-x}$$

Mesmo resultado, com mais trabalho. A regra da cadeia é o caminho rápido.

## Gráfico de e^(−x) e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = e^(−x) e de sua derivada y = −e^(−x)'
caption: 'A função $e^{-x}$ é sempre positiva e sempre decrescente. Sua derivada é a imagem espelhada abaixo do eixo x.'
x: [-2, 5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: exp(-x)
    label: y = e^(−x)
  - expr: -exp(-x)
    label: y = −e^(−x) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, -1, 'inclinação −1']
```

O gráfico de $e^{-x}$ é o gráfico de $e^x$ refletido em relação ao eixo y. Refletir da esquerda para a direita transforma toda inclinação de subida em descida, então a derivada é negativa. Quando $x \to \infty$, tanto a função quanto sua inclinação diminuem em direção a $0$. Esse é o formato do decaimento exponencial.

## Derivadas de ordem superior

Cada derivada traz mais um $-1$, então os sinais se alternam:

| Derivada | Resultado |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $-e^{-x}$ |
| $f''(x)$ | $e^{-x}$ |
| $f'''(x)$ | $-e^{-x}$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $(-1)^n e^{-x}$ |

Como $f''(x) = f(x)$, a função $e^{-x}$ resolve a equação diferencial $y'' = y$, assim como $e^x$. E $f'(x) = -f(x)$ diz que ela diminui a uma taxa igual ao seu próprio tamanho, que é a regra que define o decaimento exponencial.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra do produto.** Para $f(x) = xe^{-x}$, a [regra do produto](/rules/product-rule) dá

$$f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$$

Então $f$ cresce para $x < 1$, decresce para $x > 1$ e tem valor máximo $f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368$.

**Exemplo 2: decaimento exponencial.** Uma grandeza $A(t) = 50e^{-0.2t}$ varia à taxa

$$A'(t) = 50\cdot(-0.2)e^{-0.2t} = -10e^{-0.2t}$$

Em $t = 0$ ela está diminuindo $10$ unidades por unidade de tempo.

**Exemplo 3: uma soma.** Para $g(x) = e^x + e^{-x}$,

$$g'(x) = e^x - e^{-x}$$

Divida as duas por $2$ e você obtém a [derivada de cosh x](/derivatives/cosh-x), que é $\sinh x$.

## Erros comuns

1. **Esquecer o sinal de menos.** $\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}$ está errado. A derivada de dentro é $-1$.
2. **Escrever $-xe^{-x - 1}$.** Isso usa a regra da potência em uma exponencial.
3. **Perder o controle dos sinais nas derivadas de ordem superior.** As derivadas de ordem par são positivas, as de ordem ímpar são negativas.
4. **Errar o sinal da integral.** $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$, não $e^{-x} + C$. Veja a [integral de e^(−x)](/integrals/e-to-the-negative-x).

Para praticar mais a regra da cadeia com exponenciais, tente os [exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de e^(−x)?

A derivada de $e^{-x}$ é $-e^{-x}$.

### Qual é a derivada de 1/e^x?

Como $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$, a derivada é $-e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$.

### Qual é a derivada segunda de e^(−x)?

Derive $-e^{-x}$ de novo: $-(-e^{-x}) = e^{-x}$. A derivada segunda é igual à função original.

### Qual é a derivada de x·e^(−x)?

Pela regra do produto, $e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.