# Derivada de e^(x²): fórmula, passo a passo e exemplos

> A derivada de e^(x²) é 2x·e^(x²). Veja os passos com a regra da cadeia, a derivada segunda, a diferença para (eˣ)² e exemplos como e^(−x²).

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-e-elevado-a-x-ao-quadrado
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $2x\,e^{x^2}$
- **Derivada segunda:** $(4x^2 + 2)\,e^{x^2}$
- **Ponto crítico:** $x = 0$, um mínimo
- **Função relacionada:** $\dfrac{d}{dx}e^{-x^2} = -2x\,e^{-x^2}$
- **Integral:** $\int e^{x^2}\,dx$ não tem fórmula elementar

## Pontos principais

- A derivada de $e^{x^2}$ é $2x\,e^{x^2}$: copie a exponencial e multiplique por $2x$.
- $e^{x^2}$ e $(e^x)^2 = e^{2x}$ são funções diferentes, com derivadas diferentes.
- A derivada segunda é $(4x^2 + 2)e^{x^2}$, que é sempre positiva, então o gráfico sempre tem concavidade para cima.
- Derivar $e^{x^2}$ é fácil, mas $\int e^{x^2}\,dx$ não tem fórmula em termos de funções elementares.

A **derivada de $e^{x^2}$ é $2x\,e^{x^2}$**. A exponencial é copiada sem mudança e multiplicada pela derivada do expoente $x^2$.

$$\frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}$$

## Passo a passo com a regra da cadeia

A função é uma composição: uma exponencial de fora $e^u$ e uma função de dentro $u = x^2$. Pela [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

1. Derive a função de fora e mantenha a de dentro: como a [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) é $e^x$, isso dá $e^{x^2}$.
2. Derive a função de dentro: $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$.
3. Multiplique: $e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$.

É costume escrever o $2x$ na frente para que ninguém o confunda com parte do expoente.

## Gráfico de e^(x²) e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = e^(x²) e de sua derivada y = 2x·e^(x²)'
caption: 'A função tem mínimo em $(0, 1)$, onde a derivada passa por zero. Longe de $0$ as duas crescem muito rápido.'
x: [-2, 2]
y: [-8, 8]
functions:
  - expr: exp(x^2)
    label: y = e^(x²)
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: 2x*exp(x^2)
    label: y = 2x·e^(x²) (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.1, 1.1]
points:
  - [0, 1, 'mínimo (0, 1)']
```

A derivada $2x\,e^{x^2}$ é negativa para $x < 0$ e positiva para $x > 0$, porque $e^{x^2}$ é sempre positiva. Então o gráfico desce, atinge o ponto mais baixo em $x = 0$ e depois sobe. Ele é simétrico em relação ao eixo y, e sua derivada é uma função ímpar.

## Derivada segunda

Derive $2x\,e^{x^2}$ com a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$\frac{d^2}{dx^2}e^{x^2} = 2\cdot e^{x^2} + 2x\cdot 2x\,e^{x^2} = (4x^2 + 2)\,e^{x^2}$$

Como $4x^2 + 2 > 0$, a curva tem concavidade para cima em todo o domínio e não tem pontos de inflexão.

## e^(x²) versus (eˣ)²

Elas se parecem, mas são funções diferentes:

| Função | Simplificada | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $e^{x^2}$ | $e^{(x^2)}$ | $2x\,e^{x^2}$ |
| $(e^x)^2$ | $e^{2x}$ | $2e^{2x}$ |

Em $x = 3$: $e^{x^2} = e^9 \approx 8103$, mas $(e^x)^2 = e^6 \approx 403$. Veja a [derivada de e^(2x)](/derivatives/e-to-the-2x) para a segunda.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: a curva de sino.** Para $f(x) = e^{-x^2}$, a derivada de dentro é $-2x$:

$$f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$$

Esse formato é o coração da distribuição normal. O máximo está em $x = 0$.

**Exemplo 2: uma constante no expoente.** Para $g(x) = e^{3x^2 + 1}$,

$$g'(x) = 6x\,e^{3x^2 + 1}$$

**Exemplo 3: um produto.** Para $h(x) = x\,e^{x^2}$,

$$h'(x) = e^{x^2} + x\cdot 2x\,e^{x^2} = (1 + 2x^2)\,e^{x^2}$$

Observe que $h'(x)$ é sempre positiva, então $h$ é sempre crescente.

## Erros comuns

1. **Esquecer o $2x$.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2}$ está errado; isso só funciona para $e^x$ simples.
2. **Escrever $e^{2x}$.** O expoente nunca muda quando você deriva uma exponencial.
3. **Usar a regra da potência.** $x^2 e^{x^2 - 1}$ trata a exponencial como uma potência de $e$ com base variável. Ela não é.
4. **Esperar uma integral fácil.** Você deriva $e^{x^2}$ em uma linha, mas sua primitiva não tem fórmula elementar. Leia a [integral de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared) para entender por quê e o que fazer em vez disso.

Pratique mais exponenciais com regra da cadeia nos [exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de e^(x²)?

A derivada de $e^{x^2}$ é $2x\,e^{x^2}$, pela regra da cadeia.

### Qual é a derivada segunda de e^(x²)?

Use a regra do produto em $2x\,e^{x^2}$: $2e^{x^2} + 2x\cdot 2x\,e^{x^2} = (4x^2 + 2)e^{x^2}$.

### Qual é a derivada de e^(−x²)?

A derivada de dentro é $-2x$, então a resposta é $-2x\,e^{-x^2}$.

### e^(x²) é o mesmo que (e^x)²?

Não. $(e^x)^2 = e^{2x}$, cuja derivada é $2e^{2x}$. Em $e^{x^2}$ só o $x$ está ao quadrado.