# Derivada de eˣ: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de eˣ é eˣ. Veja por que com uma demonstração por limite, a forma com a regra da cadeia para e^u, o gráfico e exemplos como e^(3x) e x²eˣ.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-e-elevado-a-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^x = e^x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $e^x$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}e^u = e^u\,u'$
- **Todas as derivadas de ordem superior:** $e^x$
- **Valor de e:** $e \approx 2.71828$
- **Versão para integrais:** $\int e^x\,dx = e^x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $e^x$ é $e^x$. Ela é a única função (a menos de uma constante multiplicativa) que é igual à própria derivada.
- A demonstração se apoia no limite $\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1$, que é o que torna $e$ especial.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}e^u = e^u\,u'$: copie a exponencial e multiplique pela derivada do expoente.
- A regra da potência não se aplica a $e^x$, porque a variável está no expoente.

A **derivada de $e^x$ é $e^x$**. A função e sua inclinação são iguais em todo ponto, o que faz de $e^x$ a função mais importante do cálculo.

$$\frac{d}{dx}\,e^x = e^x$$

## Gráfico de eˣ

```graph
title: 'Gráfico de y = eˣ e de sua reta tangente em x = 0'
caption: 'Em todo ponto, a altura de $e^x$ é igual à sua inclinação. Em $x = 0$ as duas valem $1$, então a reta tangente ali é $y = x + 1$.'
x: [-4, 3]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: exp(x)
    label: y = eˣ (e sua derivada)
  - expr: x + 1
    label: tangente y = x + 1
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1), inclinação 1']
  - [1, 2.718, '(1, e), inclinação e']
```

Como $e^x > 0$ para todo $x$, a inclinação é sempre positiva, então $e^x$ é sempre crescente. E como a inclinação cresce junto com a altura, a curva se curva para cima cada vez mais rápido.

## Demonstração pela definição de limite

Use a [definição de derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative):

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \to 0}\frac{e^{x + h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h}$$

Para qualquer base $a$, a derivada de $a^x$ é $a^x$ vezes a constante $\lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}$. Para $a = 2$ essa constante é cerca de $0.693$. Para $a = 3$ é cerca de $1.099$. O número $e \approx 2.71828$ é a base em que a constante é exatamente $1$:

$$\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}e^x = e^x$$

Você pode conferir numericamente: com $h = 0.001$, $\frac{e^{0.001} - 1}{0.001} \approx 1.0005$.

## Versão com a regra da cadeia: derivada de e^u

Quando o expoente é algo diferente de $x$, use a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}e^u = e^u \cdot u'$$

Copie a exponencial exatamente como está e multiplique pela derivada do expoente.

| Função | Expoente $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $e^{3x}$ | $3x$ | $3e^{3x}$ |
| $e^{-x}$ | $-x$ | $-e^{-x}$ |
| $e^{x^2}$ | $x^2$ | $2xe^{x^2}$ |
| $e^{\sin x}$ | $\sin x$ | $\cos x\,e^{\sin x}$ |
| $e^{\sqrt{x}}$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ |

Algumas delas têm página própria: [e^(2x)](/derivatives/e-to-the-2x), [e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) e [e^(x²)](/derivatives/e-to-the-x-squared).

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra do produto.** Para $f(x) = x^2e^x$, a [regra do produto](/rules/product-rule) dá

$$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = e^x(x^2 + 2x)$$

Colocar $e^x$ em evidência facilita encontrar onde $f'(x) = 0$: em $x = 0$ e $x = -2$.

**Exemplo 2: regra do quociente.** Para $g(x) = \frac{e^x}{x}$, a [regra do quociente](/rules/quotient-rule) dá

$$g'(x) = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

**Exemplo 3: derivadas de ordem superior.** Toda derivada de $e^x$ é $e^x$, então $f^{(n)}(x) = e^x$ para todo $n$. É por isso que a série de Maclaurin de $e^x$ é $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$.

## Erros comuns

1. **Usar a regra da potência.** $\frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x - 1}$. A regra da potência exige expoente constante.
2. **Esquecer o fator da regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$, não $e^{5x}$.
3. **Mudar o expoente.** A derivada de $e^{x^2}$ mantém $e^{x^2}$; ela não vira $e^{2x}$.
4. **Tratar $e$ como variável.** $e$ é uma constante, então $\frac{d}{dx}e^2 = 0$ e $\frac{d}{dx}x^e = ex^{e - 1}$.

O fato inverso, $\int e^x\,dx = e^x + C$, está na página da [integral de eˣ](/integrals/e-to-the-x). A função inversa é o logaritmo natural; veja a [derivada de ln x](/derivatives/ln-x) e a [função exponencial natural](/functions/natural-exponential-function).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de e^x?

A derivada de $e^x$ é $e^x$. A função é igual à própria derivada.

### Por que a derivada de e^x é igual a e^x?

Porque $\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h}$, e $e$ é exatamente o número que faz esse limite valer $1$.

### Qual é a derivada de e^(3x)?

Pela regra da cadeia, é $3e^{3x}$.

### A derivada de e^x é x·e^(x−1)?

Não. Essa é a regra da potência, que só funciona quando o expoente é constante. Aqui o expoente é a variável, então a resposta é $e^x$.