# Derivada de ln(2x): por que é 1/x, com exemplos

> A derivada de ln(2x) é 1/x, a mesma de ln x. Veja duas demonstrações, um gráfico que mostra por que as inclinações coincidem e por que ln(2x + 1) é diferente.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-ln-2x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\dfrac{1}{x}$ para $x > 0$
- **Forma geral:** $\dfrac{d}{dx}\ln(kx) = \dfrac{1}{x}$ para qualquer constante $k > 0$
- **Propriedade-chave do logaritmo:** $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$
- **Domínio de ln(2x):** $x > 0$
- **Compare:** $\dfrac{d}{dx}\ln(2x + 1) = \dfrac{2}{2x + 1}$

## Pontos principais

- A derivada de $\ln(2x)$ é $\frac{1}{x}$, exatamente a mesma que a derivada de $\ln x$.
- Motivo: $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, e a constante $\ln 2$ tem derivada $0$.
- A regra da cadeia dá o mesmo: $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$.
- Isso só funciona para um múltiplo de $x$. Para $\ln(2x + 1)$ a derivada é $\frac{2}{2x + 1}$.

A **derivada de $\ln(2x)$ é $\dfrac{1}{x}$**. Isso surpreende muitos alunos: o $2$ desaparece, e a resposta coincide com a [derivada de ln x](/derivatives/ln-x).

$$\frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x}, \qquad x > 0$$

## Demonstração 1: a regra da cadeia

Seja $u = 2x$, então $u' = 2$. A [regra da cadeia](/rules/chain-rule) para logaritmos diz "derivada da função de dentro sobre a função de dentro":

$$\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{u'}{u} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$$

O $2$ do numerador cancela o $2$ do denominador.

## Demonstração 2: separe o logaritmo primeiro

A propriedade do produto dos logaritmos diz que $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Então

$$\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$$

Agora $\ln 2 \approx 0.693$ é apenas um número, e a derivada de uma constante é $0$:

$$\frac{d}{dx}\ln(2x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

Esta segunda demonstração explica *por que* a resposta é a mesma de $\ln x$.

## Gráfico: duas curvas, mesmas inclinações

```graph
title: 'Gráfico de y = ln(2x) e y = ln x'
caption: 'A curva $\ln(2x)$ é $\ln x$ deslocada para cima em $\ln 2 \approx 0.693$. Deslocar um gráfico para cima não muda sua inclinação, então as duas têm derivada $\frac{1}{x}$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: ln(2x)
    label: y = ln(2x)
    domain: [0.02, 6]
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    dashed: true
    domain: [0.04, 6]
points:
  - [0.5, 0, '(1/2, 0)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

Em qualquer $x$, as duas curvas estão à mesma distância vertical uma da outra, então suas retas tangentes são paralelas. Em $x = 2$, por exemplo, as duas têm inclinação $\frac{1}{2}$.

## Quando a constante não se cancela

O truque só funciona quando a função de dentro é uma constante *vezes* $x$. Compare:

| Função | Derivada | A constante se cancela? |
| --- | --- | --- |
| $\ln(2x)$ | $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ | sim |
| $\ln(5x)$ | $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$ | sim |
| $\ln(2x + 1)$ | $\frac{2}{2x + 1}$ | não |
| $\ln(x + 2)$ | $\frac{1}{x + 2}$ | não |
| $\ln(2x^3)$ | $\frac{6x^2}{2x^3} = \frac{3}{x}$ | o $2$ se cancela, a potência permanece |

A última linha funciona porque $\ln(2x^3) = \ln 2 + 3\ln x$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma reta tangente.** Em $x = \frac{1}{2}$, $\ln(2x) = \ln 1 = 0$ e a inclinação é $\frac{1}{1/2} = 2$. A reta tangente é

$$y = 2\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = 2x - 1$$

**Exemplo 2: regra do produto.** Para $f(x) = x\ln(2x)$, a [regra do produto](/rules/product-rule) dá

$$f'(x) = \ln(2x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(2x) + 1$$

**Exemplo 3: um quadrado.** Para $g(x) = \left[\ln(2x)\right]^2$, a função de fora é um quadrado:

$$g'(x) = 2\ln(2x)\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln(2x)}{x}$$

## Erros comuns

1. **Escrever $\frac{1}{2x}$.** Você dividiu pela função de dentro, mas esqueceu de multiplicar pela derivada dela, $2$.
2. **Escrever $\frac{2}{x}$.** Você multiplicou por $2$, mas não manteve o $2$ no denominador.
3. **Cancelar em $\ln(2x + 1)$.** O $2$ só se cancela quando a função de dentro é exatamente $2x$.

Veja também a [derivada de ln(x²)](/derivatives/ln-x-squared), em que há uma potência dentro do logaritmo em vez de um múltiplo, e pratique mais com os [exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de ln(2x)?

A derivada de $\ln(2x)$ é $\frac{1}{x}$.

### Por que a derivada de ln(2x) é a mesma de ln x?

Porque $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$. As duas funções diferem apenas pela constante $\ln 2$, então seus gráficos são deslocamentos verticais um do outro e têm a mesma inclinação em todo ponto.

### Qual é a derivada de ln(3x)?

Também é $\frac{1}{x}$. Para qualquer constante positiva $k$, $\frac{d}{dx}\ln(kx) = \frac{k}{kx} = \frac{1}{x}$.

### Qual é a derivada de ln(2x + 1)?

É $\frac{2}{2x + 1}$. Somar $1$ dentro do logaritmo faz com que a constante não se separe mais como outro logaritmo, então nada se cancela.