# Derivada de ln(cos x): fórmula, passo a passo e exemplos

> A derivada de ln(cos x) é −tg x. Veja os passos com a regra da cadeia, por que ela explica a integral de tg x, o gráfico, e ln(sen x) e ln(sec x).

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-ln-cos-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $-\tan x$ onde $\cos x > 0$
- **Derivada segunda:** $-\sec^2 x$
- **Com módulo:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x$ onde $\cos x \ne 0$
- **Integral relacionada:** $\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$
- **Parceira:** $\dfrac{d}{dx}\ln(\sin x) = \cot x$

## Pontos principais

- A derivada de $\ln(\cos x)$ é $\frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
- Ela segue a regra da cadeia para logaritmos: a derivada da função de dentro sobre a função de dentro.
- Lida de trás para frente, ela dá a integral padrão $\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C = \ln\lvert\sec x\rvert + C$.
- $\ln(\cos x)$ só está definida onde $\cos x > 0$, como em $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

A **derivada de $\ln(\cos x)$ é $-\tan x$**. É um cálculo curto com a regra da cadeia, e é o motivo pelo qual a integral de $\tan x$ envolve um logaritmo.

$$\frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x$$

## Passo a passo com a regra da cadeia

Para o logaritmo de uma função, a [derivada de ln x](/derivatives/ln-x) junto com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) dá $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$. Aqui $u = \cos x$:

1. A função de dentro é $u = \cos x$.
2. Sua derivada é $u' = -\sin x$ (veja a [derivada de cos x](/derivatives/cos-x)).
3. Divida: $\frac{u'}{u} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.

## Onde ln(cos x) está definida

Um logaritmo só aceita entradas positivas, então $\ln(\cos x)$ só existe onde $\cos x > 0$. Isso é o intervalo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ e suas cópias deslocadas de $2\pi$. Onde $\cos x < 0$, use $\ln\lvert\cos x\rvert$. Ela tem a mesma derivada, $-\tan x$, onde quer que $\cos x \ne 0$.

## Gráfico de ln(cos x) e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = ln(cos x) e de sua derivada y = −tg x'
caption: 'A curva tem seu pico em $(0, 0)$, onde a inclinação é $-\tan 0 = 0$. Ela cai em direção a $-\infty$ perto de $x = \pm\frac{\pi}{2}$, onde $\cos x \to 0$.'
x: [-2, 2]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: ln(cos(x))
    label: y = ln(cos x)
    domain: [-1.5, 1.5]
  - expr: -tan(x)
    label: y = −tg x (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.3, 1.3]
points:
  - [0, 0, 'máximo (0, 0)']
```

Como $\cos x \le 1$, temos $\ln(\cos x) \le 0$, com valor máximo $0$ em $x = 0$. A derivada segunda é $-\sec^2 x$, que é sempre negativa, então o gráfico tem concavidade para baixo em todo ponto onde existe.

## Por que isso dá a integral de tg x

Inverta o resultado. Como $\frac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x$,

$$\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C = \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

As duas formas são iguais porque $-\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}$. O método completo, com substituição, está na página da [integral de tg x](/integrals/tan-x).

## Logaritmos de outras funções trigonométricas

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $\ln(\cos x)$ | $-\tan x$ |
| $\ln(\sin x)$ | $\cot x$ |
| $\ln(\sec x)$ | $\tan x$ |
| $\ln(\tan x)$ | $\frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{1}{\sin x\cos x}$ |
| $\ln(\sec x + \tan x)$ | $\sec x$ |

A última linha é a famosa, por trás de $\int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$. Confira: a derivada de dentro é $\sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$, e dividir por $\sec x + \tan x$ deixa $\sec x$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\ln(\cos 2x) = \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\ln(\cos^2 x) = \frac{d}{dx}2\ln(\cos x) = -2\tan x$.

**Exemplo 3: reta tangente.** Em $x = \frac{\pi}{4}$, $\ln\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.347$, e a inclinação é $-\tan\frac{\pi}{4} = -1$. A reta tangente é $y = -\frac{\ln 2}{2} - \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

## Erros comuns

1. **Escrever $\frac{1}{\cos x}$.** Isso é $\sec x$, e esquece a derivada de dentro, $-\sin x$.
2. **Perder o sinal de menos.** A derivada de $\cos x$ é $-\sin x$, então a resposta é $-\tan x$, não $\tan x$.
3. **Escrever $-\frac{1}{\sin x}$.** Você inverteu a derivada de dentro em vez de dividir pela função de dentro.

Pratique mais a regra da cadeia com funções trigonométricas nos [exercícios de derivadas trigonométricas](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de ln(cos x)?

A derivada de $\ln(\cos x)$ é $-\tan x$.

### Qual é a derivada de ln(sen x)?

É $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$, válida onde $\sin x > 0$.

### Qual é a derivada de ln(sec x)?

É $\frac{\sec x\tan x}{\sec x} = \tan x$. Isso confere com o fato de que $\ln(\sec x) = -\ln(\cos x)$.

### Qual é a derivada de ln(cos 2x)?

A derivada de dentro é $-2\sin 2x$, então a resposta é $\frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x$.