# Derivada de ln(x²) e de (ln x)²: fórmulas e exemplos

> A derivada de ln(x²) é 2/x, enquanto a derivada de (ln x)² é 2 ln x / x. Veja as duas demonstrações, o gráfico e como distinguir as duas funções.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-ln-x-ao-quadrado
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} $$

## Visão geral

- **Derivada de ln(x²):** $\dfrac{2}{x}$ para $x \ne 0$
- **Derivada de (ln x)²:** $\dfrac{2\ln x}{x}$ para $x > 0$
- **Propriedade-chave do logaritmo:** $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$
- **Domínio de ln(x²):** $x \ne 0$
- **Domínio de (ln x)²:** $x > 0$

## Pontos principais

- A derivada de $\ln(x^2)$ é $\frac{2}{x}$: pela regra da cadeia, $\frac{2x}{x^2}$, ou pela propriedade $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$.
- A derivada de $(\ln x)^2$ é $\frac{2\ln x}{x}$: o quadrado está do lado de fora, então use a regra da potência e depois a regra da cadeia.
- $\ln(x^2)$ eleva a entrada ao quadrado; $(\ln x)^2$ eleva a saída ao quadrado. São funções diferentes.
- $\ln(x^2)$ está definida para todo $x \ne 0$, mas $(\ln x)^2$ só para $x > 0$.

A **derivada de $\ln(x^2)$ é $\dfrac{2}{x}$**. Não a confunda com $(\ln x)^2$, cuja derivada é $\dfrac{2\ln x}{x}$.

$$\frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}$$

## Derivada de ln(x²): dois caminhos

**Com a regra da cadeia.** A função de dentro é $u = x^2$, então $u' = 2x$. Usando "derivada da função de dentro sobre a função de dentro", da [derivada de ln x](/derivatives/ln-x):

$$\frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$$

**Com uma propriedade do logaritmo primeiro.** A propriedade da potência dos logaritmos desce o expoente: $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$. Como $\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x}$,

$$\frac{d}{dx}\,2\ln\lvert x\rvert = \frac{2}{x}$$

O módulo importa porque $x^2 > 0$ mesmo quando $x < 0$. Então $\ln(x^2)$ existe também para $x$ negativo, e a fórmula $\frac{2}{x}$ vale dos dois lados de $0$.

## Derivada de (ln x)²

Aqui o logaritmo é calculado primeiro e *depois* elevado ao quadrado. A função de fora é um quadrado, então use a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) com a regra da potência por fora:

$$\frac{d}{dx}(\ln x)^2 = 2(\ln x)^1\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{2\ln x}{x}$$

Você também verá $(\ln x)^2$ escrito como $\ln^2 x$. Em geral, ele nunca é igual a $\ln(x^2)$. Em $x = e$: $\ln(e^2) = 2$, mas $(\ln e)^2 = 1$.

## Gráfico das duas funções

```graph
title: 'Gráfico de y = ln(x²) e y = (ln x)²'
caption: '$\ln(x^2)$ tem dois ramos, um de cada lado do eixo y. $(\ln x)^2$ só existe para $x > 0$, toca o zero em $x = 1$ e nunca é negativa.'
x: [-5, 5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: ln(x^2)
    label: y = ln(x²)
    domain: [0.15, 5]
  - expr: ln(x^2)
    label: y = ln(x²)
    domain: [-5, -0.15]
  - expr: (ln(x))^2
    label: y = (ln x)²
    dashed: true
    domain: [0.14, 5]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [-1, 0, '(−1, 0)']
```

O gráfico mostra a diferença de sinal. $\ln(x^2)$ sobe para $x > 0$ (sua inclinação $\frac{2}{x}$ é positiva) e desce para $x < 0$. $(\ln x)^2$ tem mínimo em $x = 1$, onde sua derivada $\frac{2\ln x}{x}$ vale $0$.

## Lado a lado

| | $\ln(x^2)$ | $(\ln x)^2$ |
| --- | --- | --- |
| O que é elevado ao quadrado | a entrada $x$ | a saída $\ln x$ |
| Domínio | $x \ne 0$ | $x > 0$ |
| Simplifica para | $2\ln\lvert x\rvert$ | não há forma mais simples |
| Derivada | $\frac{2}{x}$ | $\frac{2\ln x}{x}$ |
| Valor em $x = e$ | $2$ | $1$ |

## Mais exemplos

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\ln(x^3) = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x}$. Em geral $\frac{d}{dx}\ln(x^n) = \frac{n}{x}$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$. Aqui nada se cancela, porque a função de dentro não é uma potência pura.

**Exemplo 3.** $\frac{d}{dx}(\ln x)^3 = \frac{3(\ln x)^2}{x}$.

**Exemplo 4.** $\frac{d}{dx}\ln\!\left((x^2 + 1)^2\right) = 2\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{4x}{x^2 + 1}$, usando primeiro a propriedade da potência do logaritmo.

## Erros comuns

1. **Escrever $\frac{1}{x^2}$.** É preciso multiplicar pela derivada de dentro, $2x$.
2. **Tratar $\ln^2 x$ como $\ln(x^2)$.** Um eleva a saída ao quadrado, o outro a entrada.
3. **Escrever $\frac{2}{x}$ para $(\ln x)^2$.** Você perdeu o $\ln x$ que a regra da potência deixa para trás.

Para praticar mais a regra da cadeia com logaritmos, veja a [derivada de ln(2x)](/derivatives/ln-2x), a [derivação logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation) e os [exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de ln(x²)?

A derivada de $\ln(x^2)$ é $\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$, para todo $x \ne 0$.

### Qual é a derivada de (ln x)²?

Pela regra da cadeia, $2\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$.

### ln(x²) é o mesmo que 2 ln x?

Só para $x > 0$. Em geral $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$, porque $\ln(x^2)$ também está definida para $x$ negativo, enquanto $\ln x$ não está.

### Qual é a derivada de ln(x² + 1)?

É $\frac{2x}{x^2 + 1}$. Ao contrário de $\ln(x^2)$, essa não se simplifica mais.