# Derivada de ln x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de ln x é 1/x. Veja por quê, com a demonstração a partir de eʸ = x, a versão com a regra da cadeia para ln(u), o gráfico e exemplos como ln(2x).

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-ln-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\dfrac{1}{x}$ para $x > 0$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}$
- **Forma com módulo:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \dfrac{1}{x}$ para $x \ne 0$
- **Domínio de ln x:** $x > 0$
- **Versão para integrais:** $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$.
- Com a regra da cadeia, a derivada de $\ln u$ é $\frac{u'}{u}$: a derivada da função de dentro sobre a função de dentro.
- Constantes multiplicando dentro do logaritmo desaparecem: $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}$, porque $\ln 5x = \ln 5 + \ln x$.
- A mesma fórmula vale para $\ln\lvert x\rvert$, e é por isso que $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.

A **derivada de $\ln x$ é $\dfrac{1}{x}$**. É um dos resultados mais usados do cálculo, e preenche uma lacuna que a regra da potência deixa: nenhuma potência de $x$ tem $\frac{1}{x}$ como derivada, mas o logaritmo natural tem.

$$\frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x}, \qquad x > 0$$

## Gráfico de ln x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = ln x e de sua derivada y = 1/x'
caption: 'A inclinação de $\ln x$ é grande perto de $x = 0$ e diminui à medida que $x$ cresce. Em $x = 1$ a inclinação é exatamente $1$, o que confere com $\frac{1}{1} = 1$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    domain: [0.02, 6]
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.2, 6]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [1, 1, 'inclinação 1']
```

Como $\frac{1}{x}$ é sempre positiva para $x > 0$, o logaritmo natural é sempre crescente. E como $\frac{1}{x}$ fica menor à medida que $x$ cresce, $\ln x$ sobe cada vez mais devagar, e é por isso que tem concavidade para baixo.

## Demonstração de que a derivada de ln x é 1/x

Seja $y = \ln x$. Pela definição do logaritmo natural, isso significa

$$e^y = x$$

Derive os dois lados em relação a $x$, usando [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation) no lado esquerdo:

$$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

O último passo usa $e^y = x$ de novo. A demonstração se apoia no fato de que a derivada de $e^x$ é $e^x$, que você encontra na página da [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x).

## A versão com a regra da cadeia: derivada de ln(u)

A maioria dos logaritmos que você vai encontrar tem algo diferente de $x$ dentro. Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\,\ln u = \frac{1}{u}\cdot u' = \frac{u'}{u}$$

Em palavras: **a derivada da função de dentro, sobre a função de dentro**.

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada $\frac{u'}{u}$ |
| --- | --- | --- |
| $\ln(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ |
| $\ln(x^2 + 1)$ | $x^2 + 1$ | $\frac{2x}{x^2 + 1}$ |
| $\ln(\sin x)$ | $\sin x$ | $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ |
| $\ln(e^x + 3)$ | $e^x + 3$ | $\frac{e^x}{e^x + 3}$ |
| $\ln(\ln x)$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x\ln x}$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um produto.** Derive $f(x) = x^3 \ln x$ com a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$f'(x) = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2\ln x + x^2$$

**Exemplo 2: simplifique primeiro.** Derive $g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x^4}{x + 1}\right)$. As propriedades dos logaritmos transformam o quociente em uma diferença:

$$g(x) = 4\ln x - \ln(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad g'(x) = \frac{4}{x} - \frac{1}{x + 1}$$

Isso é muito mais rápido do que usar a regra do quociente dentro da regra da cadeia. Separar os logaritmos antes de derivar é a ideia por trás da [derivação logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation).

**Exemplo 3: uma reta tangente.** A tangente a $y = \ln x$ em $x = e$ tem inclinação $\frac{1}{e}$ e passa por $(e, 1)$:

$$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x}{e}$$

Essa reta passa pela origem.

## Erros comuns

1. **Escrever $\frac{1}{u}$ e parar.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1)$ não é $\frac{1}{x^2+1}$. Multiplique pela derivada de dentro, $2x$.
2. **Tratar $\ln(x^2)$ e $(\ln x)^2$ como iguais.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2}{x}$, mas $\frac{d}{dx}(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}$.
3. **Usar $\frac{1}{x}$ para outras bases.** $\frac{d}{dx}\log_{10} x$ precisa do fator extra $\frac{1}{\ln 10}$. Veja a [derivada de log x](/derivatives/log-x).
4. **Esquecer o domínio.** $\ln x$ só existe para $x > 0$. Para entradas negativas use $\ln\lvert x\rvert$, que tem a mesma derivada, $\frac{1}{x}$.

Para mais sobre logaritmos e exponenciais juntos, leia [derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions), ou veja a página da função [logaritmo natural](/functions/natural-logarithm).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de ln x?

A derivada de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$, para todo $x > 0$.

### Qual é a derivada de ln(2x)?

É $\frac{1}{x}$. Pela regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$. Você também pode ver isso por $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, em que $\ln 2$ é uma constante.

### Qual é a derivada de ln(x²)?

É $\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$. Você também pode reescrever primeiro $\ln(x^2) = 2\ln x$ e obter $\frac{2}{x}$ diretamente.

### A derivada de ln x é a mesma que a de log x?

Só para o logaritmo natural. Para o logaritmo na base 10, $\frac{d}{dx}\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10}$. Em geral, $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$.