# Derivada de log x: base 10 e base b, com exemplos

> A derivada de log₁₀ x é 1/(x ln 10), e a de log_b x é 1/(x ln b). Veja a demonstração por mudança de base, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-log-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} $$

## Visão geral

- **Derivada de log₁₀ x:** $\dfrac{1}{x\ln 10} \approx \dfrac{0.4343}{x}$
- **Base qualquer:** $\dfrac{d}{dx}\log_b x = \dfrac{1}{x\ln b}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\log_b u = \dfrac{u'}{u\ln b}$
- **Mudança de base:** $\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}$
- **Domínio:** $x > 0$

## Pontos principais

- A derivada de $\log_{10} x$ é $\frac{1}{x\ln 10}$ e, para qualquer base $b$, $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$.
- A demonstração tem uma linha: a mudança de base dá $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$, uma constante vezes $\ln x$.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\log_b u = \frac{u'}{u\ln b}$.
- Em muitos livros de cálculo e na matemática mais avançada, "log x" significa o logaritmo natural, então confira a convenção do seu curso.

A **derivada de $\log_{10} x$ é $\dfrac{1}{x\ln 10}$**. Para um logaritmo em qualquer base $b$:

$$\frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$$

É a [derivada de ln x](/derivatives/ln-x), $\frac{1}{x}$, dividida pela constante $\ln b$.

## Qual logaritmo é "log x"?

A notação depende de onde você está:

- Nas calculadoras, na química e no ensino médio, $\log x$ significa $\log_{10} x$.
- Em muitos livros de cálculo, na matemática mais avançada e na maioria das linguagens de programação, $\log x$ significa $\ln x$.
- Na computação, $\log x$ muitas vezes significa $\log_2 x$.

Se não tiver certeza, olhe o gabarito: uma resposta com $\ln 10$ indica base 10.

## Demonstração pela fórmula de mudança de base

A fórmula de mudança de base transforma qualquer logaritmo em um logaritmo natural:

$$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$$

Como $\frac{1}{\ln b}$ é uma constante, a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule) dá

$$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln b}$$

Para a base 10, $\frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343$. Então um logaritmo na base 10 cresce a cerca de $43\%$ da taxa do logaritmo natural.

## Gráfico de log₁₀ x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = log₁₀ x e de sua derivada'
caption: 'O logaritmo na base 10 cresce devagar. Sua inclinação em $x = 1$ é $\frac{1}{\ln 10} \approx 0.434$.'
x: [-0.5, 10]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: ln(x)/ln(10)
    label: y = log₁₀ x
    domain: [0.02, 10]
  - expr: 1/(x*ln(10))
    label: y = 1/(x ln 10) (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.25, 10]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [10, 1, '(10, 1)']
```

## Derivadas para as bases mais comuns

| Função | Derivada | Aproximação |
| --- | --- | --- |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_{10} x$ | $\frac{1}{x\ln 10}$ | $\frac{0.4343}{x}$ |
| $\log_2 x$ | $\frac{1}{x\ln 2}$ | $\frac{1.4427}{x}$ |
| $\log_3 x$ | $\frac{1}{x\ln 3}$ | $\frac{0.9102}{x}$ |

## Versão com a regra da cadeia e exemplos

$$\frac{d}{dx}\log_b u = \frac{u'}{u\ln b}$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\log_{10}(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\log_2(3x) = \frac{3}{3x\ln 2} = \frac{1}{x\ln 2}$. O $3$ se cancela, assim como na [derivada de ln(2x)](/derivatives/ln-2x).

**Exemplo 3: regra do produto.** Para $f(x) = x\log_{10} x$,

$$f'(x) = \log_{10} x + x\cdot\frac{1}{x\ln 10} = \log_{10} x + \frac{1}{\ln 10}$$

**Exemplo 4: decibéis.** O nível sonoro é $L = 10\log_{10}\frac{I}{I_0}$. Então $\frac{dL}{dI} = \frac{10}{I\ln 10}$, ou seja, cada unidade extra de intensidade importa menos à medida que $I$ cresce.

## Inversa de aˣ

$\log_b x$ é a inversa de $b^x$, cuja derivada é $b^x\ln b$ (veja a [derivada de 2ˣ e aˣ](/derivatives/2-to-the-x)). Uma tem $\ln b$ no numerador e a outra no denominador, como prevê a [derivada da função inversa](/rules/inverse-function-rule).

## Erros comuns

1. **Escrever $\frac{1}{x}$ para a base 10.** Isso só está certo para o logaritmo natural.
2. **Colocar $\log 10$ em vez de $\ln 10$.** O fator é sempre um logaritmo natural. ($\log_{10} 10 = 1$, o que o cancelaria indevidamente.)
3. **Escrever $\frac{\ln 10}{x}$.** O $\ln b$ vai no denominador.

Para mais, veja as [funções logarítmicas](/functions/logarithmic-functions) e os [exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de log x?

Se $\log x$ significa base 10, a derivada é $\frac{1}{x\ln 10}$. Se significa o logaritmo natural, como em muitos textos avançados, a derivada é $\frac{1}{x}$.

### Qual é a derivada de log na base 2 de x?

É $\frac{1}{x\ln 2}$, que é aproximadamente $\frac{1.443}{x}$.

### Por que aparece um ln na derivada de um logaritmo na base 10?

Porque $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$. A derivada de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$, e a constante $\frac{1}{\ln 10}$ simplesmente vem junto.

### Qual é a derivada de log(x² + 1)?

Na base 10, é $\frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}$.