# Derivada de sec²x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de sec²x é 2sec²x tg x. Veja duas demonstrações, uma pela regra da cadeia e outra com 1 + tg²x, além de exemplos como sec²(3x).

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-sec-ao-quadrado-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $2\sec^2 x\tan x$ para $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Em seno e cosseno:** $\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'$
- **Relação com tg x:** $\sec^2 x$ é a derivada de $\tan x$, então isto é $\frac{d^2}{dx^2}\tan x$
- **Integral de sec²x:** $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\sec^2 x$ é $2\sec^2 x\tan x$.
- Trate $\sec^2 x$ como $(\sec x)^2$: o quadrado de fora dá $2\sec x$, a função de dentro dá $\sec x\tan x$.
- Como $\sec^2 x = \frac{d}{dx}\tan x$, este resultado também é a derivada segunda de $\tan x$.
- Não confunda com a derivada de $\tan x$, que é o próprio $\sec^2 x$.

A **derivada de $\sec^2 x$ é $2\sec^2 x\tan x$**. Leia $\sec^2 x$ como $(\sec x)^2$ e aplique a regra da cadeia uma vez.

$$\frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x$$

## Gráfico de sec²x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = sec²x e de sua derivada y = 2sec²x tg x'
caption: 'O ramo em forma de U de $\sec^2 x$ tem mínimo em $x = 0$, onde a derivada passa por zero.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-8, 8]
functions:
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec²x
    domain: [-1.25, 1.25]
  - expr: 2sec(x)^2tan(x)
    label: y = 2sec²x tg x (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.0, 1.0]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 1, 'mínimo, inclinação 0']
```

## Demonstração 1: regra da cadeia em (sec x)²

A função de fora é o quadrado, a de dentro é $\sec x$. Usando a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) e a [derivada de sec x](/derivatives/sec-x):

$$\frac{d}{dx}(\sec x)^2 = 2\sec x\cdot\frac{d}{dx}\sec x = 2\sec x\cdot\sec x\tan x = 2\sec^2 x\tan x$$

## Demonstração 2: usando 1 + tg²x

A identidade $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ dá um segundo caminho. O $1$ desaparece, e $\tan^2 x$ é o quadrado de $\tan x$:

$$\frac{d}{dx}\left(1 + \tan^2 x\right) = 2\tan x\cdot\sec^2 x$$

Os dois caminhos concordam, o que é uma boa conferência da identidade.

## Demonstração 3: em termos de cos x

$\sec^2 x = (\cos x)^{-2}$, então

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-2} = -2(\cos x)^{-3}\cdot(-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$$

Separe como $2\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 2\sec^2 x\tan x$.

## Por que esta é a derivada segunda de tg x

A [derivada de tg x](/derivatives/tan-x) é $\sec^2 x$. Então derivar $\sec^2 x$ é o mesmo que derivar $\tan x$ duas vezes:

$$\frac{d^2}{dx^2}\tan x = 2\sec^2 x\tan x$$

O sinal dessa expressão indica a concavidade de $\tan x$: concavidade para baixo para $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ e concavidade para cima para $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

## Variações com a regra da cadeia

$$\frac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\sec^2(3x) = 6\sec^2(3x)\tan(3x)$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\sec^2(x^2) = 4x\sec^2(x^2)\tan(x^2)$.

**Exemplo 3: um valor.** Em $x = \frac{\pi}{4}$, $\sec^2\frac{\pi}{4} = 2$ e $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, então a inclinação é $2\cdot 2\cdot 1 = 4$.

**Exemplo 4: um produto.** $\frac{d}{dx}(x\sec^2 x) = \sec^2 x + 2x\sec^2 x\tan x$.

## Onde você vai encontrá-la

A derivada de $\sec^2 x$ aparece com mais frequência em dois lugares. O primeiro é no estudo da concavidade e dos pontos de inflexão de $\tan x$, já que $\sec^2 x$ é sua derivada primeira. O segundo é na integração, em que reconhecer $2\sec^2 x\tan x$ como uma derivada permite desfazê-la rapidamente por substituição: fazendo $u = \tan x$, $\int 2\tan x\sec^2 x\,dx$ vira $\int 2u\,du = \tan^2 x + C$. Como $\tan^2 x$ e $\sec^2 x$ diferem apenas por $1$, essa é a mesma família de primitivas.

## Erros comuns

1. **Parar em $2\sec x$.** Essa é só a derivada de fora. Multiplique por $\sec x\tan x$.
2. **Responder $\tan x$.** $\tan x$ é a integral de $\sec^2 x$, não sua derivada. Veja a [integral de sec²x](/integrals/sec-squared-x).
3. **Tratar $\sec^2 x$ como $\sec(x^2)$.** $\frac{d}{dx}\sec(x^2) = 2x\sec(x^2)\tan(x^2)$, que é diferente.

Os quadrados do seno e do cosseno seguem o mesmo padrão: veja a [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x) e a [derivada de cos²x](/derivatives/cos-squared-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de sec²x?

É $2\sec^2 x\tan x$.

### Qual é a derivada segunda de tg x?

A derivada primeira é $\sec^2 x$, e a derivada dela é $2\sec^2 x\tan x$. Então $\frac{d^2}{dx^2}\tan x = 2\sec^2 x\tan x$.

### Qual é a derivada de sec²(2x)?

Pela regra da cadeia, $2\sec(2x)\cdot\sec(2x)\tan(2x)\cdot 2 = 4\sec^2(2x)\tan(2x)$.

### A derivada de sec²x é tg x?

Não, isso está invertido. $\tan x$ é a primitiva de $\sec^2 x$. A derivada de $\sec^2 x$ é $2\sec^2 x\tan x$.