# Derivada de sec x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de sec x é sec x tg x. Veja a demonstração a partir de 1/cos x, a regra da cadeia para sec(u), o gráfico e exemplos como sec(2x) e x sec x.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-sec-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\sec x\tan x$ para $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Em seno e cosseno:** $\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u \cdot u'$
- **Inclinação em x = 0:** $\sec 0\tan 0 = 0$
- **Versão para integrais:** $\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\sec x$ é $\sec x\tan x$.
- Ela sai de escrever $\sec x = (\cos x)^{-1}$ e usar a regra da cadeia.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u\cdot u'$.
- Lida de trás para frente, ela dá $\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C$.

A **derivada de $\sec x$ é $\sec x\tan x$**. A secante é o inverso do cosseno, então sua derivada sai diretamente da [derivada de cos x](/derivatives/cos-x).

$$\frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x$$

## Gráfico de sec x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = sec x e de sua derivada y = sec x tg x'
caption: 'Um ramo de $\sec x$. Ele tem mínimo em $x = 0$, onde a derivada é $0$. À esquerda de $0$ a inclinação é negativa, à direita de $0$ é positiva.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: sec(x)tan(x)
    label: y = sec x tg x (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.25, 1.25]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 1, 'mínimo, inclinação 0']
```

## Demonstração pela regra da cadeia

Escreva $\sec x = (\cos x)^{-1}$. A [regra da cadeia](/rules/chain-rule), com a potência $-1$ por fora e $\cos x$ por dentro, dá

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

Separe a fração em dois pedaços conhecidos:

$$\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$$

A [regra do quociente](/rules/quotient-rule) aplicada a $\frac{1}{\cos x}$ dá o mesmo: $\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de sec(u)

$$\frac{d}{dx}\,\sec u = \sec u\tan u\cdot u'$$

Tanto $\sec$ quanto $\tan$ mantêm a mesma função de dentro.

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\sec(2x)$ | $2x$ | $2\sec(2x)\tan(2x)$ |
| $\sec(x^2)$ | $x^2$ | $2x\sec(x^2)\tan(x^2)$ |
| $\sec(3x + 1)$ | $3x + 1$ | $3\sec(3x + 1)\tan(3x + 1)$ |
| $\sec\left(\frac{1}{x}\right)$ | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}\sec\frac{1}{x}\tan\frac{1}{x}$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um produto.** $\frac{d}{dx}(x\sec x) = \sec x + x\sec x\tan x = \sec x(1 + x\tan x)$.

**Exemplo 2: uma potência.** $\frac{d}{dx}\sec^3 x = 3\sec^2 x\cdot\sec x\tan x = 3\sec^3 x\tan x$.

**Exemplo 3: uma soma que se simplifica.** $\frac{d}{dx}(\sec x + \tan x) = \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$. Esse resultado elegante é o truque por trás da [integral de sec x](/integrals/sec-x), $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

**Exemplo 4: um valor.** Em $x = \frac{\pi}{3}$, $\sec\frac{\pi}{3} = 2$ e $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, então a inclinação é $2\sqrt{3} \approx 3.46$.

## Como memorizar

Secante e tangente andam sempre juntas no cálculo. A derivada de $\tan x$ é $\sec^2 x$, e a derivada de $\sec x$ é $\sec x\tan x$. Um jeito de não confundir: a derivada da tangente não tem tangente, enquanto a derivada da secante contém as duas funções, uma vez cada. Conferir um valor também ajuda. Em $x = 0$ a secante tem seu mínimo, então a inclinação tem de ser zero, e de fato $\tan 0 = 0$.

## Erros comuns

1. **Escrever $\tan^2 x$ ou $\sec^2 x$.** A derivada de $\sec x$ é $\sec x\tan x$. $\sec^2 x$ é a derivada de $\tan x$.
2. **Acrescentar um sinal de menos.** A secante não é uma função "co", então sua derivada é positiva. Compare com a [derivada de cossec x](/derivatives/csc-x), $-\csc x\cot x$.
3. **Mudar só uma das funções de dentro.** $\frac{d}{dx}\sec(5x) = 5\sec(5x)\tan(5x)$. Os dois fatores mantêm $5x$.

Lido de trás para frente, o resultado dá a [integral de sec x tg x](/integrals/sec-x-tan-x). A página das [funções trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions) mostra o gráfico da secante.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de sec x?

A derivada de $\sec x$ é $\sec x\tan x$.

### Como demonstrar a derivada de sec x?

Escreva $\sec x = (\cos x)^{-1}$. A regra da cadeia dá $-(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$.

### Qual é a derivada de sec(2x)?

Pela regra da cadeia, $2\sec(2x)\tan(2x)$.

### Qual é a derivada de sec²x?

É $2\sec x\cdot\sec x\tan x = 2\sec^2 x\tan x$.