# Derivada de sen 2x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de sen 2x é 2cos 2x. Veja a demonstração pela regra da cadeia, a conferência com 2 sen x cos x, a regra geral para sen(ax) e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-sen-2x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $2\cos 2x$
- **Regra geral:** $\dfrac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)$
- **Derivada segunda:** $-4\sin 2x$
- **Período:** $\pi$, metade do período de $\sin x$
- **Integral de sen 2x:** $\int\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\sin 2x$ é $2\cos 2x$. O 2 de dentro vai para a frente.
- De forma geral, $\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)$.
- A função de dentro $2x$ permanece igual na resposta. Não a troque por $x$.
- Reescrever $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ e usar a regra do produto dá o mesmo resultado.

A **derivada de $\sin 2x$ é $2\cos 2x$**. A regra da cadeia traz o fator interno $2$ para a frente, e a função de dentro $2x$ permanece igual.

$$\frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x$$

## Gráfico de sen 2x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = sen 2x e de sua derivada y = 2cos 2x'
caption: '$\sin 2x$ oscila duas vezes mais rápido que $\sin x$, então suas inclinações são duas vezes mais acentuadas. A derivada chega a $\pm 2$.'
x: [-3.3, 3.3]
y: [-2.5, 2.5]
functions:
  - expr: sin(2x)
    label: y = sen 2x
  - expr: 2cos(2x)
    label: y = 2cos 2x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'inclinação 2']
  - [0.7854, 1, 'pico, inclinação 0']
```

## Demonstração pela regra da cadeia

Função de fora $\sin u$, função de dentro $u = 2x$, então $u' = 2$. Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) e a [derivada de sen x](/derivatives/sin-x):

$$\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)\cdot 2 = 2\cos 2x$$

## Conferência com a fórmula do arco duplo

Reescreva $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ e use a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(2\sin x\cos x) = 2\left(\cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x)\right) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$$

A fórmula do arco duplo $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ transforma isso em $2\cos 2x$. Dois métodos, uma resposta.

## Por que o 2 vai para a frente

Comprimir o gráfico horizontalmente por um fator 2 o torna duas vezes mais inclinado em todo ponto. É isso que o fator $2$ na frente de $\cos 2x$ registra. Em geral:

$$\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax), \qquad \frac{d}{dx}\sin(ax + b) = a\cos(ax + b)$$

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $\sin 3x$ | $3\cos 3x$ |
| $\sin\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$ |
| $\sin(2x + 1)$ | $2\cos(2x + 1)$ |
| $\sin(\pi x)$ | $\pi\cos(\pi x)$ |
| $5\sin 2x$ | $10\cos 2x$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um valor.** Em $x = \frac{\pi}{6}$, a inclinação é $2\cos\frac{\pi}{3} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$.

**Exemplo 2: um produto.** $\frac{d}{dx}(x\sin 2x) = \sin 2x + 2x\cos 2x$.

**Exemplo 3: derivadas de ordem superior.** Cada derivada traz mais um $2$: $\frac{d^2}{dx^2}\sin 2x = -4\sin 2x$, $\frac{d^3}{dx^3}\sin 2x = -8\cos 2x$ e $\frac{d^4}{dx^4}\sin 2x = 16\sin 2x$.

**Exemplo 4: uma ligação com sen²x.** A [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x) é $\sin 2x$. Então $\sin^2 x$ é uma primitiva de $\sin 2x$, e $-\frac{1}{2}\cos 2x$ também é. Elas diferem por uma constante, já que $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$.

## Onde você vai encontrá-la

A função $\sin 2x$ aparece sempre que uma onda se repete duas vezes mais que $\sin x$. Ela também surge como resposta simplificada, por exemplo como a derivada de $\sin^2 x$, então conhecer sua derivada poupa tempo nas derivadas segundas. Na física, $\sin 2\theta$ aparece no alcance de um projétil, e sua derivada diz como o alcance muda quando você inclina o ângulo de lançamento.

## Erros comuns

1. **Esquecer o 2.** $\frac{d}{dx}\sin 2x$ não é $\cos 2x$.
2. **Mudar a função de dentro.** A resposta é $2\cos 2x$, não $2\cos x$.
3. **Dividir em vez de multiplicar.** O $\frac{1}{2}$ aparece quando você integra, não quando deriva. Veja a [integral de sen 2x](/integrals/sin-2x).
4. **Confundir $\sin 2x$ com $2\sin x$.** $\frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x$. Os gráficos são diferentes.

Para mais treino com a regra da cadeia, tente os [exercícios de regra da cadeia](/practice-problems/chain-rule).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de sen 2x?

É $2\cos 2x$, pela regra da cadeia.

### Por que a derivada de sen 2x não é cos 2x?

Por causa da regra da cadeia. A função de dentro $2x$ tem derivada $2$, e você precisa multiplicar por ela.

### Qual é a derivada de 2 sen x cos x?

É $2\cos 2x$, já que $2\sin x\cos x = \sin 2x$. A regra do produto dá $2(\cos^2 x - \sin^2 x)$, que é a mesma coisa.

### Qual é a derivada de sen(2x + 1)?

É $2\cos(2x + 1)$. A constante $1$ não altera a derivada de dentro.