# Derivada de sen²x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de sen²x é 2 sen x cos x, que é igual a sen 2x. Veja a demonstração pela regra da cadeia, a conferência com o arco duplo e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-sen-ao-quadrado-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $2\sin x\cos x$
- **Simplificada:** $\sin 2x$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u'$
- **Não é o mesmo que:** $\sin(x^2)$, cuja derivada é $2x\cos(x^2)$
- **Integral de sen²x:** $\int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\sin^2 x$ é $2\sin x\cos x$, que se simplifica para $\sin 2x$.
- Leia $\sin^2 x$ como $(\sin x)^2$: o quadrado é a função de fora, $\sin x$ é a de dentro.
- A identidade $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ dá a mesma resposta, uma conferência útil.
- $\sin^2 x$ e $\sin(x^2)$ são funções diferentes, com derivadas diferentes.

A **derivada de $\sin^2 x$ é $2\sin x\cos x$**, que a fórmula do arco duplo encurta para $\sin 2x$.

$$\frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x$$

## Gráfico de sen²x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = sen²x e de sua derivada y = sen 2x'
caption: '$\sin^2 x$ oscila entre $0$ e $1$ com período $\pi$. Sua inclinação é $0$ em cada pico e em cada toque no eixo, que é onde $\sin 2x = 0$.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.6]
functions:
  - expr: sin(x)^2
    label: y = sen²x
  - expr: sin(2x)
    label: y = sen 2x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0.7854, 0.5, 'mais inclinada, inclinação 1']
  - [1.5708, 1, 'pico, inclinação 0']
```

## Demonstração pela regra da cadeia

A notação $\sin^2 x$ significa $(\sin x)^2$. Por fora está o quadrado, por dentro está $\sin x$. A [regra da cadeia](/rules/chain-rule) dá

$$\frac{d}{dx}(\sin x)^2 = 2\sin x\cdot\frac{d}{dx}\sin x = 2\sin x\cos x$$

A identidade do arco duplo $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ arruma isso para $\sin 2x$.

## Conferência com uma identidade de arco duplo

Reescreva primeiro com $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-2\sin 2x) = \sin 2x$$

Mesma resposta, sem precisar da regra da cadeia em um quadrado. Essa identidade de redução de potência também é a forma de integrá-la, veja a [integral de sen²x](/integrals/sin-squared-x).

## Conferência com a regra do produto

Escreva $\sin^2 x = \sin x\cdot\sin x$ e use a [regra do produto](/rules/product-rule): $\cos x\sin x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x$.

## Variações com a regra da cadeia

$$\frac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u' = \sin(2u)\cdot u'$$

| Função | Derivada | Simplificada |
| --- | --- | --- |
| $\sin^2(3x)$ | $6\sin 3x\cos 3x$ | $3\sin 6x$ |
| $\sin^2(x^2)$ | $4x\sin(x^2)\cos(x^2)$ | $2x\sin(2x^2)$ |
| $\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\sin x$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma potência maior.** $\frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x$.

**Exemplo 2: um valor.** Em $x = \frac{\pi}{4}$, a inclinação é $\sin\frac{\pi}{2} = 1$. Esse é o ponto mais inclinado de $\sin^2 x$.

**Exemplo 3: inclinação máxima.** A derivada $\sin 2x$ é no máximo $1$, então $\sin^2 x$ nunca sobe com inclinação maior que $1$, a mesma velocidade máxima de $\sin x$.

**Exemplo 4: derivada segunda.** $\frac{d}{dx}\sin 2x = 2\cos 2x$, então $\sin^2 x$ tem concavidade para cima onde $\cos 2x > 0$, por exemplo em $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$.

## Por que a resposta tem período π

A função $\sin^2 x$ nunca fica negativa, então seu gráfico se repete a cada $\pi$ em vez de a cada $2\pi$. A derivada $\sin 2x$ também tem período $\pi$, o que é uma boa conferência de coerência: uma função e sua derivada devem se repetir juntas. Se sua resposta tivesse período $2\pi$, como $2\cos x$, algo deu errado. Comparar os períodos é uma forma rápida de pegar erros sem refazer as contas.

## Erros comuns

1. **Responder $\cos^2 x$.** Elevar a derivada ao quadrado não é a regra da cadeia.
2. **Responder $2\cos x$.** A derivada do quadrado é $2\sin x$, e depois você multiplica por $\cos x$.
3. **Confundir $\sin^2 x$ com $\sin(x^2)$.** Veja a [derivada de sen(x²)](/derivatives/sin-x-squared): $2x\cos(x^2)$.

A versão com cosseno está na página da [derivada de cos²x](/derivatives/cos-squared-x), e o resultado $\sin 2x$ tem sua própria página, a [derivada de sen 2x](/derivatives/sin-2x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de sen²x?

É $2\sin x\cos x$, que é o mesmo que $\sin 2x$.

### Qual é a derivada de sen²(3x)?

Aplicando a regra da cadeia duas vezes, $2\sin(3x)\cdot\cos(3x)\cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$.

### A derivada de sen²x é 2 cos x?

Não. Isso pula a regra da cadeia. O quadrado dá $2\sin x$, e depois você multiplica pela derivada de $\sin x$, que é $\cos x$.

### Por que a derivada de sen²x mais a derivada de cos²x dá zero?

Porque $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, uma constante. De fato, $\sin 2x + (-\sin 2x) = 0$.