# Derivada de sen(x²): fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de sen(x²) é 2x cos(x²). Veja a regra da cadeia passo a passo, a diferença para sen²x, a derivada segunda e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-sen-x-ao-quadrado
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2) $$

## Visão geral

- **Derivada:** $2x\cos(x^2)$
- **Fora e dentro:** De fora $\sin u$, de dentro $u = x^2$
- **Derivada segunda:** $2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$
- **Não é o mesmo que:** $\sin^2 x$, cuja derivada é $\sin 2x$
- **Integral:** $\int\sin(x^2)\,dx$ não tem primitiva elementar

## Pontos principais

- A derivada de $\sin(x^2)$ é $2x\cos(x^2)$.
- É um problema de regra da cadeia: cosseno da mesma função de dentro, vezes a derivada de $x^2$.
- Mantenha $x^2$ dentro do cosseno. A resposta não é $2x\cos x$.
- $\sin(x^2)$ e $\sin^2 x$ são funções diferentes, então preste atenção à notação.

A **derivada de $\sin(x^2)$ é $2x\cos(x^2)$**. Este é um problema clássico de [regra da cadeia](/rules/chain-rule): o seno está por fora e $x^2$ está por dentro.

$$\frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2)$$

## Gráfico de sen(x²) e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = sen(x²) e de sua derivada y = 2x cos(x²)'
caption: 'As ondas de $\sin(x^2)$ ficam mais próximas à medida que $\lvert x\rvert$ cresce, então as inclinações ficam mais acentuadas. O fator $2x$ na derivada registra isso.'
x: [-3.2, 3.2]
y: [-7, 7]
functions:
  - expr: sin(x^2)
    label: y = sen(x²)
  - expr: 2x cos(x^2)
    label: y = 2x cos(x²) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'plana, inclinação 0']
  - [1.2533, 1, 'pico, inclinação 0']
```

Ao contrário de $\sin x$, esta função não é periódica. Ela acelera à medida que você se afasta de $0$, e a derivada cresce aproximadamente como $2x$.

## Demonstração pela regra da cadeia

Faça $u = x^2$, então $y = \sin u$. Assim

$$\frac{dy}{du} = \cos u, \qquad \frac{du}{dx} = 2x$$

Multiplique:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \cos u\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$

A função de dentro $x^2$ é copiada sem mudança para o cosseno. A derivada da função de dentro, $2x$, vai para a frente. Os dois ingredientes são a [derivada de sen x](/derivatives/sin-x) e a [derivada de x²](/derivatives/x-squared).

## sen(x²) versus sen²x

Estas duas são fáceis de confundir e têm derivadas diferentes:

| Função | Significado | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\sin(x^2)$ | seno de $x^2$ | $2x\cos(x^2)$ |
| $\sin^2 x$ | $(\sin x)^2$ | $2\sin x\cos x = \sin 2x$ |
| $\sin 2x$ | seno de $2x$ | $2\cos 2x$ |

Em $x = 1$, por exemplo, $\sin(1) \approx 0.841$ enquanto $\sin^2(1) \approx 0.708$. Veja a [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x) e a [derivada de sen 2x](/derivatives/sin-2x).

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma constante dentro.** $\frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2)\cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$.

**Exemplo 2: um valor.** Em $x = \sqrt{\pi}$, $x^2 = \pi$ e $\cos\pi = -1$, então a inclinação é $2\sqrt{\pi}\cdot(-1) = -2\sqrt{\pi} \approx -3.54$.

**Exemplo 3: um produto.** Com a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}\left(x\sin(x^2)\right) = \sin(x^2) + x\cdot 2x\cos(x^2) = \sin(x^2) + 2x^2\cos(x^2)$$

**Exemplo 4: derivada segunda.** Derive $2x\cos(x^2)$ com a regra do produto:

$$\frac{d}{dx}\left(2x\cos(x^2)\right) = 2\cos(x^2) + 2x\cdot\left(-2x\sin(x^2)\right) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$$

**Exemplo 5: outras potências.** $\frac{d}{dx}\sin(x^3) = 3x^2\cos(x^3)$ e $\frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2)$.

## Identificando a função de fora e a de dentro

A parte mais difícil deste problema é lê-lo corretamente. Pergunte-se qual operação você faria por último se substituísse um número. Para $\sin(x^2)$ com $x = 3$, você eleva ao quadrado primeiro e obtém $9$, depois calcula o seno. O último passo, o seno, é a função de fora. O primeiro passo, elevar ao quadrado, é a de dentro. Essa ordem diz exatamente como aplicar a regra da cadeia. O mesmo teste funciona para qualquer composição: o que acontece por último é derivado primeiro, e o resto entra multiplicando como derivada de dentro.

## Erros comuns

1. **Esquecer o $2x$.** $\cos(x^2)$ sozinho é só a derivada de fora.
2. **Mudar a função de dentro.** Escrever $2x\cos x$ ou $\cos 2x$ perde o $x^2$.
3. **Ler como $\sin^2 x$.** Confira os parênteses antes de começar.

Aplicar a regra da cadeia ao contrário é a [integração por substituição](/rules/u-substitution-rule): $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$. Pratique mais com os [exercícios de regra da cadeia](/practice-problems/chain-rule).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de sen(x²)?

É $2x\cos(x^2)$. A derivada de fora é $\cos(x^2)$ e a derivada de dentro é $2x$.

### Qual é a diferença entre sen(x²) e sen²x?

Em $\sin(x^2)$ você eleva $x$ ao quadrado primeiro e depois calcula o seno. Em $\sin^2 x = (\sin x)^2$ você calcula o seno primeiro e depois eleva ao quadrado. Suas derivadas são $2x\cos(x^2)$ e $2\sin x\cos x$.

### Qual é a derivada de sen(3x²)?

É $6x\cos(3x^2)$, já que a derivada de $3x^2$ é $6x$.

### Qual é a integral de sen(x²)?

Ela não tem fórmula em termos de funções elementares. Define a integral de Fresnel e costuma ser calculada numericamente. Por outro lado, $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$ por substituição.