# Derivada de sen x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de sen x é cos x. Veja a demonstração por limite, a versão com a regra da cadeia para sen(u), o gráfico e exemplos como sen(3x) e x sen x.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-sen-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\cos x$ para todo $x$ real
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'$
- **Derivada segunda:** $-\sin x$
- **Unidades:** $x$ precisa estar em radianos
- **Versão para integrais:** $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\sin x$ é $\cos x$.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'$, então $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$.
- A demonstração se apoia em dois limites: $\frac{\sin h}{h} \to 1$ e $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$.
- A fórmula só vale quando $x$ é medido em radianos.

A **derivada de $\sin x$ é $\cos x$**. Onde a onda do seno está subindo, o cosseno é positivo. Onde ela está descendo, o cosseno é negativo.

$$\frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x$$

## Gráfico de sen x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = sen x e de sua derivada y = cos x'
caption: 'Nos picos e vales de $\sin x$ a inclinação é $0$, e $\cos x$ cruza o eixo. Em $x = 0$ a inclinação de $\sin x$ é $1 = \cos 0$.'
x: [-6.5, 6.5]
y: [-1.8, 1.8]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sen x
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'inclinação 1']
  - [1.5708, 1, 'pico, inclinação 0']
```

## Demonstração pela definição de limite

Use a fórmula do seno da soma, $\sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h$:

$$\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$$

Dois limites fundamentais concluem a demonstração. Quando $h \to 0$, $\frac{\sin h}{h} \to 1$ (demonstrado pelo [Teorema do Confronto](/theorems/squeeze-theorem)) e $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$. Então

$$\frac{d}{dx}\sin x = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$

O limite $\frac{\sin h}{h} \to 1$ só vale com $h$ em radianos. Esse é o verdadeiro motivo pelo qual o cálculo usa radianos.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de sen(u)

$$\frac{d}{dx}\,\sin u = \cos u \cdot u'$$

Mantenha a função de dentro, troque seno por cosseno e multiplique pela derivada da função de dentro. Veja a [regra da cadeia](/rules/chain-rule).

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\sin(3x)$ | $3x$ | $3\cos(3x)$ |
| $\sin(2x)$ | $2x$ | $2\cos(2x)$ |
| $\sin(x^2)$ | $x^2$ | $2x\cos(x^2)$ |
| $\sin(e^x)$ | $e^x$ | $e^x\cos(e^x)$ |
| $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ |

Páginas completas: [derivada de sen 2x](/derivatives/sin-2x) e [derivada de sen(x²)](/derivatives/sin-x-squared).

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um produto.** Derive $f(x) = x\sin x$ com a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$f'(x) = \sin x + x\cos x$$

**Exemplo 2: uma potência do seno.** $\frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x$. A função de fora é o cubo, a de dentro é $\sin x$.

**Exemplo 3: uma reta tangente.** Em $x = \frac{\pi}{3}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e a inclinação é $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$

**Exemplo 4: derivadas de ordem superior.** As derivadas de $\sin x$ se repetem a cada quatro passos: $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ e de novo $\sin x$. Então a 10ª derivada é igual à 2ª: $-\sin x$.

## Erros comuns

1. **Acrescentar um sinal de menos.** $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$, positivo. O menos pertence à [derivada de cos x](/derivatives/cos-x).
2. **Mudar a função de dentro.** $\frac{d}{dx}\sin(3x)$ é $3\cos(3x)$, não $3\cos x$ nem $\cos 3$.
3. **Confundir $\sin^2 x$ com $\sin(x^2)$.** Suas derivadas são $2\sin x\cos x$ e $2x\cos(x^2)$.
4. **Trabalhar em graus.** Em graus aparece um fator extra $\frac{\pi}{180}$.

O caminho inverso está na página da [integral de sen x](/integrals/sin-x). Para uma visão completa, leia [derivadas das funções trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions) ou tente os [exercícios de derivadas trigonométricas](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de sen x?

A derivada de $\sin x$ é $\cos x$.

### Qual é a derivada de sen(3x)?

Pela regra da cadeia, $\cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

### Qual é a derivada de sen x em graus?

Se $x$ está em graus, $\frac{d}{dx}\sin x^\circ = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ$. A resposta limpa $\cos x$ só funciona em radianos, e é por isso que o cálculo usa radianos.

### A derivada de sen x é -cos x?

Não. $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$. O sinal de menos pertence à integral, $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, e à derivada do cosseno, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.