# Derivada de senh x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de senh x é cosh x. Veja a demonstração pela definição com exponenciais, por que não há sinal de menos, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-senh-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\cosh x$
- **Definição:** $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$
- **Derivada segunda:** $\sinh x$
- **Derivada da inversa:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

## Pontos principais

- A derivada de $\sinh x$ é $\cosh x$.
- A demonstração sai diretamente de $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
- Ao contrário de $\sin x$ e $\cos x$, não há sinais de menos: $\sinh$ e $\cosh$ são a derivada uma da outra.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$.

A **derivada de $\sinh x$ é $\cosh x$**. O seno hiperbólico se comporta como o seno comum em muitos aspectos, mas sua derivada não traz surpresas com sinais.

$$\frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x$$

## Demonstração pela definição

O seno e o cosseno hiperbólicos são definidos com exponenciais:

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Derive $\sinh x$ termo a termo. A [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) é $e^x$, e a [derivada de e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) é $-e^{-x}$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

Os dois sinais de menos se cancelam, e é por isso que a resposta é $+\cosh x$.

## Gráfico de senh x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = senh x e de sua derivada y = cosh x'
caption: 'A inclinação de $\sinh x$ nunca é menor que $1$, o valor de $\cosh 0$. Então $\sinh x$ é sempre crescente e passa pela origem com um ângulo de 45°.'
x: [-3, 3]
y: [-6, 6]
functions:
  - expr: sinh(x)
    label: y = senh x
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'inclinação 1']
```

Como $\cosh x \ge 1$ para todo $x$, o gráfico de $\sinh x$ está sempre subindo, e sua menor inclinação é $1$, na origem. Sua reta tangente em $0$ é $y = x$.

## Derivadas hiperbólicas versus circulares

| Circular | Derivada | Hiperbólica | Derivada |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ |

O seno comum tem um ciclo de período quatro: $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$. O seno hiperbólico tem um ciclo de período dois: $\sinh \to \cosh \to \sinh$. Então $y = \sinh x$ resolve $y'' = y$, enquanto $y = \sin x$ resolve $y'' = -y$.

## Versão com a regra da cadeia e exemplos

$$\frac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\sinh(3x) = 3\cosh(3x)$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\sinh(x^2) = 2x\cosh(x^2)$.

**Exemplo 3: regra do produto.** $\frac{d}{dx}\,x\sinh x = \sinh x + x\cosh x$.

**Exemplo 4: uma potência.** $\frac{d}{dx}\sinh^2 x = 2\sinh x\cosh x = \sinh(2x)$, usando a identidade $\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x$.

**Exemplo 5: um logaritmo.** $\frac{d}{dx}\ln(\sinh x) = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x$ para $x > 0$.

## Derivada da inversa, arcsenh x

A inversa do seno hiperbólico tem uma fórmula com logaritmo, $\operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$. Sua derivada é

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Você pode demonstrá-la como a [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x): faça $\sinh y = x$, derive para obter $\cosh y\,y' = 1$ e use $\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + x^2}$. É por causa desse resultado que $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C$.

## Erros comuns

1. **Acrescentar um sinal de menos.** $\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, não $-\cosh x$. Só o cosseno circular ganha um menos.
2. **Confundir $\sinh x$ com $\sin x$.** Elas seguem um padrão parecido, mas são funções diferentes, com gráficos diferentes.
3. **Esquecer a regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\sinh(5x) = 5\cosh(5x)$.

Para os resultados parceiros, veja a [derivada de cosh x](/derivatives/cosh-x) e a [derivada de tgh x](/derivatives/tanh-x). A página das [funções hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions) mostra seus gráficos e identidades.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de senh x?

A derivada de $\sinh x$ é $\cosh x$.

### Qual é a derivada de senh(2x)?

Pela regra da cadeia, é $2\cosh(2x)$.

### Por que a derivada de senh x não tem sinal negativo como a do cos?

Porque $\sinh$ é construído a partir de exponenciais, não do círculo trigonométrico. Derivar $\frac{e^x - e^{-x}}{2}$ dá $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$, sem mudança de sinal.

### Qual é a derivada da inversa do seno hiperbólico?

A derivada de $\operatorname{arsinh} x$ (também escrita $\sinh^{-1} x$) é $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.