# Derivada de tg x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de tg x é sec²x. Veja a demonstração pela regra do quociente, a forma 1 + tg²x, a regra da cadeia para tg(u) e exemplos como tg(4x) e tg²x.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-tg-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\sec^2 x$ para $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Outras formas:** $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'$
- **Inclinação em x = 0:** $\sec^2 0 = 1$
- **Versão para integrais:** $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\tan x$ é $\sec^2 x$, que também é igual a $1 + \tan^2 x$.
- Ela vem da regra do quociente aplicada a $\frac{\sin x}{\cos x}$ e da identidade $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Como $\sec^2 x \ge 1$, $\tan x$ é crescente em todo intervalo onde está definida.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'$.

A **derivada de $\tan x$ é $\sec^2 x$**. Você também a verá escrita como $\frac{1}{\cos^2 x}$ ou $1 + \tan^2 x$. As três são a mesma função.

$$\frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x$$

## Gráfico de tg x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = tg x e de sua derivada y = sec²x'
caption: 'Um ramo de $\tan x$ entre suas assíntotas. A inclinação é mínima em $x = 0$, onde vale $1$, e cresce sem limite perto de $\pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tg x
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec²x (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.2, 1.2]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 0, 'inclinação 1']
```

Como $\sec^2 x$ nunca fica abaixo de $1$, a função tangente é sempre crescente entre as assíntotas. Ela nunca tem tangente horizontal.

## Demonstração pela regra do quociente

Escreva $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e use a [regra do quociente](/rules/quotient-rule):

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

A identidade pitagórica transforma o numerador em $1$:

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

Se, em vez disso, você separar a fração antes de simplificar, obtém $\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$. Essa forma é útil quando a resposta deve ser escrita só em termos de $\tan x$.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de tg(u)

$$\frac{d}{dx}\,\tan u = \sec^2 u\cdot u'$$

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\tan(4x)$ | $4x$ | $4\sec^2(4x)$ |
| $\tan(x^2)$ | $x^2$ | $2x\sec^2(x^2)$ |
| $\tan\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{\sec^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ |
| $\tan(e^x)$ | $e^x$ | $e^x\sec^2(e^x)$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma potência da tangente.** $\frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\cdot\sec^2 x$. Aqui a tangente é a função de dentro e o quadrado é a de fora.

**Exemplo 2: um produto.** $\frac{d}{dx}(x\tan x) = \tan x + x\sec^2 x$, pela [regra do produto](/rules/product-rule).

**Exemplo 3: uma reta tangente.** Em $x = \frac{\pi}{4}$, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ e a inclinação é $\sec^2\frac{\pi}{4} = (\sqrt{2})^2 = 2$:

$$y = 1 + 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$

**Exemplo 4: derivada segunda.** $\frac{d}{dx}\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x$, calculada na página da [derivada de sec²x](/derivatives/sec-squared-x). Ela é negativa para $x < 0$ e positiva para $x > 0$, então $\tan x$ tem um ponto de inflexão na origem.

## Como memorizar

A tangente é a inclinação de uma reta que sai da origem com ângulo $x$. Quando o ângulo se aproxima de um ângulo reto, essa inclinação dispara, e $\sec^2 x$ também. Em $x = 0$ o gráfico da tangente passa pela origem com um ângulo de 45 graus, o que corresponde a uma derivada igual a $1$.

## Erros comuns

1. **Escrever $\sec x$ em vez de $\sec^2 x$.** O quadrado importa. $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$, um resultado diferente.
2. **Escrever $\sec^2 x\tan x$.** Essa é a derivada de $\frac{1}{2}\sec^2 x$, não de $\tan x$.
3. **Aplicar a fórmula em uma assíntota.** $\tan x$ e sua derivada não existem em $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Lida de trás para frente, a fórmula dá $\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$, veja a [integral de sec²x](/integrals/sec-squared-x). Para $\int\tan x\,dx$, veja a [integral de tg x](/integrals/tan-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de tg x?

A derivada de $\tan x$ é $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

### Por que a derivada de tg x é sec² x?

Escreva $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. A regra do quociente dá $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$.

### Qual é a derivada de tg(2x)?

Pela regra da cadeia, $2\sec^2(2x)$.

### Qual é a derivada de tg²x?

É $2\tan x\sec^2 x$. A função de fora é o quadrado e a de dentro é $\tan x$.