# Derivada de tgh x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de tgh x é sech² x, que é igual a 1 − tgh² x. Veja a demonstração pela regra do quociente, a regra da cadeia, o gráfico e a derivada de arctgh.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-tgh-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\operatorname{sech}^2 x = \dfrac{1}{\cosh^2 x}$
- **Forma equivalente:** $1 - \tanh^2 x$
- **Definição:** $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$
- **Imagem de tgh x:** $(-1, 1)$
- **Derivada da inversa:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{1 - x^2}$ para $\lvert x\rvert < 1$

## Pontos principais

- A derivada de $\tanh x$ é $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$.
- O mesmo resultado pode ser escrito como $1 - \tanh^2 x$, o que é útil em equações diferenciais e redes neurais.
- A demonstração usa a regra do quociente e a identidade $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
- A inclinação é $1$ em $x = 0$ e diminui em direção a $0$ à medida que $\tanh x$ se estabiliza em $\pm 1$.

A **derivada de $\tanh x$ é $\operatorname{sech}^2 x$**, que você também pode escrever como $1 - \tanh^2 x$.

$$\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$$

Aqui $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$, então $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$.

## Demonstração pela regra do quociente

Escreva $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ e use a [regra do quociente](/rules/quotient-rule), sabendo que a [derivada de senh x](/derivatives/sinh-x) é $\cosh x$ e a [derivada de cosh x](/derivatives/cosh-x) é $\sinh x$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh x\cdot\cosh x - \sinh x\cdot\sinh x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}$$

A identidade hiperbólica $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ simplifica o numerador:

$$\frac{d}{dx}\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$$

Separar a fração dá a outra forma: $\frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$.

## Gráfico de tgh x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = tgh x e de sua derivada y = sech² x'
caption: 'A tangente hiperbólica é uma curva em forma de S entre $-1$ e $1$. Sua inclinação é $1$ na origem e tende a $0$ dos dois lados.'
x: [-4, 4]
y: [-1.5, 1.5]
functions:
  - expr: tanh(x)
    label: y = tgh x
  - expr: 1/cosh(x)^2
    label: y = sech² x (derivada)
    dashed: true
  - expr: 1
    label: y = 1
    dashed: true
  - expr: -1
    label: y = −1
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'inclinação 1']
```

A derivada é sempre positiva, então $\tanh x$ é sempre crescente. Mas ela nunca chega a $\pm 1$; essas retas são assíntotas horizontais. Compare com a [derivada de arctg x](/derivatives/arctan-x), outra curva em S com inclinação $1$ na origem, embora o arctg se aproxime de suas assíntotas bem mais devagar.

## Comparando tg e tgh

| Função | Derivada | Em termos da própria função |
| --- | --- | --- |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $1 + \tan^2 x$ |
| $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ | $1 - \tanh^2 x$ |

A troca de sinal vem das identidades: $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$, mas $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$.

## Versão com a regra da cadeia e exemplos

$$\frac{d}{dx}\tanh u = \operatorname{sech}^2 u\cdot u'$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\tanh(2x) = 2\operatorname{sech}^2(2x)$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\tanh(x^2) = 2x\operatorname{sech}^2(x^2)$.

**Exemplo 3: um logaritmo.** $\frac{d}{dx}\ln(\cosh x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x$. Então $\int\tanh x\,dx = \ln(\cosh x) + C$.

**Exemplo 4: um valor.** Em $x = 1$, $\tanh 1 \approx 0.7616$, então a inclinação é $1 - 0.7616^2 \approx 0.420$.

## Onde aparece 1 − tgh² x

Em aprendizado de máquina, a $\tanh$ é uma função de ativação comum. O treinamento precisa de sua derivada muitas vezes, e $1 - \tanh^2 x$ permite que o programa reaproveite o valor de $\tanh x$ que já calculou, em vez de calcular $\cosh x$.

## Derivada de arctgh x

Para $\lvert x\rvert < 1$, faça $\tanh y = x$. Então $(1 - \tanh^2 y)\,y' = 1$, logo

$$\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}$$

## Erros comuns

1. **Escrever $\sec^2 x$.** Essa é a derivada da tangente circular.
2. **Escrever $1 + \tanh^2 x$.** A versão hiperbólica tem sinal de menos.
3. **Esquecer a derivada da função de dentro.** $\frac{d}{dx}\tanh(3x) = 3\operatorname{sech}^2(3x)$.

A página das [funções hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions) também trata de $\operatorname{sech}$, $\operatorname{csch}$ e $\coth$.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de tgh x?

A derivada de $\tanh x$ é $\operatorname{sech}^2 x$, que também é igual a $1 - \tanh^2 x$.

### Qual é a derivada de tgh(2x)?

Pela regra da cadeia, é $2\operatorname{sech}^2(2x)$.

### Por que a derivada de tgh é escrita como 1 − tgh² x?

Porque $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$. Divida $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ por $\cosh^2 x$ para ver isso. Essa forma permite calcular a inclinação só a partir do valor de $\tanh x$.

### Qual é a derivada de arctgh x?

Para $\lvert x\rvert < 1$, $\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}$.