# Derivada de uma constante: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de uma constante é 0. Veja por que pela definição de limite, além de casos que confundem, como π², e³, ln 5 e constantes multiplicando funções.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-uma-constante
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,c = 0 $$

## Visão geral

- **Derivada:** $0$ para toda constante $c$
- **Gráfico:** Uma reta horizontal, que tem inclinação $0$
- **Constante somada:** $\dfrac{d}{dx}\big(f(x) + c\big) = f'(x)$
- **Constante multiplicando:** $\dfrac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big) = c\,f'(x)$
- **Versão para integrais:** $\int c\,dx = cx + C$

## Pontos principais

- A derivada de qualquer constante é $0$, porque uma reta horizontal não tem inclinação.
- Números como $\pi^2$, $e^3$, $\ln 5$ e $\sin 1$ são constantes, então suas derivadas são $0$.
- Uma constante somada desaparece quando você deriva, mas uma constante multiplicando permanece.
- É por isso que toda primitiva tem um $+C$: a constante pode ser qualquer uma.

A **derivada de uma constante é $0$**. Se $f(x) = c$ para algum número fixo $c$, então $f'(x) = 0$ para todo $x$.

$$\frac{d}{dx}\,c = 0$$

## Gráfico de uma constante e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = 3 e de sua derivada y = 0'
caption: 'Uma função constante é uma reta horizontal. Sua inclinação é $0$ em todo ponto, então a derivada fica sobre o eixo $x$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: 3
    label: y = 3
  - expr: 0
    label: y = 0 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, 3, 'inclinação 0']
```

## Demonstração pela definição de limite

Para $f(x) = c$, tanto $f(x + h)$ quanto $f(x)$ valem $c$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

O numerador é exatamente $0$ para todo $h \ne 0$, então o limite é $0$. Essa é a [regra da constante](/rules/constant-rule).

Você também pode ver isso pela [regra da potência](/rules/power-rule): $c = c\,x^0$, e $\frac{d}{dx}\,x^0 = 0 \cdot x^{-1} = 0$.

## Reconhecendo constantes disfarçadas

A parte difícil não é a regra, é reconhecer uma constante. Tudo o que não contém a variável é uma constante, não importa a aparência.

| Expressão | É constante? | Derivada em relação a $x$ |
| --- | --- | --- |
| $7$ | sim | $0$ |
| $\pi^2$ | sim | $0$ |
| $e^3$ | sim | $0$ |
| $\ln 5$ | sim | $0$ |
| $\sin\frac{\pi}{6}$ | sim, vale $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $a^2 + b$ (letras diferentes de $x$) | sim, se não dependem de $x$ | $0$ |
| $e^x$ | não | $e^x$ |

## Constantes somadas versus constantes multiplicando

Uma constante **somada** desaparece:

$$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 10\right) = 2x + 0 = 2x$$

Uma constante **multiplicando** permanece, pela [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule):

$$\frac{d}{dx}\left(10x^2\right) = 10 \cdot 2x = 20x$$

O motivo é geométrico. Somar $10$ desloca o gráfico para cima, o que não altera nenhuma inclinação. Multiplicar por $10$ estica o gráfico, o que torna cada inclinação 10 vezes mais acentuada.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\left(4x^3 - 2x + \pi\right) = 12x^2 - 2$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\left(e^2 x\right) = e^2$. Aqui $e^2$ multiplica $x$, então permanece, e a [derivada de x](/derivatives/x) é $1$.

**Exemplo 3.** $\frac{d}{dx}\left(\ln 3 + \ln x\right) = \frac{1}{x}$. O $\ln 3$ é uma constante. Veja a [derivada de ln x](/derivatives/ln-x).

**Exemplo 4: outras variáveis.** Em $\frac{d}{dx}(x^2 y^3)$, se $y$ não depende de $x$, trate $y^3$ como uma constante multiplicando: a resposta é $2xy^3$. Essa ideia vira [derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) no Cálculo 3.

## Erros comuns

1. **Derivar $e^2$ como se fosse $e^x$.** $\frac{d}{dx}e^2 = 0$, não $e^2$ nem $2e$.
2. **Descartar uma constante multiplicando.** $\frac{d}{dx}(3x) = 3$, não $0$.
3. **Usar a regra da potência com base constante.** $\frac{d}{dx}\pi^3$ é $0$, não $3\pi^2$.

No sentido inverso, toda primitiva leva um $+C$ porque a derivada de uma constante é $0$. Veja a [integral de uma constante](/integrals/constant).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de uma constante?

É $0$. Uma função constante $f(x) = c$ nunca muda, então sua taxa de variação é zero.

### Qual é a derivada de e?

O número $e \approx 2.718$ é uma constante, então sua derivada é $0$. Não confunda com $e^x$, cuja derivada é $e^x$.

### Qual é a derivada de pi?

É $0$. $\pi$ é um número fixo, aproximadamente $3.14159$.

### Qual é a derivada de 5x?

É $5$. O $5$ é uma constante multiplicando, não uma constante somada, então ele permanece: $5 \cdot \frac{d}{dx}x = 5$.