# Derivada de x²: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de x² é 2x. Veja a demonstração pela definição de limite, a regra da cadeia para u², o gráfico, retas tangentes e exemplos como (3x + 1)².

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-x-ao-quadrado
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x $$

## Visão geral

- **Derivada:** $2x$ para todo $x$ real
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'$
- **Derivada segunda:** $\dfrac{d^2}{dx^2}\,x^2 = 2$
- **Inclinação em x = 0:** $0$, o fundo da parábola
- **Versão para integrais:** $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $x^2$ é $2x$: desça o 2 e diminua o expoente para 1.
- A inclinação de $y = x^2$ em $x = a$ é $2a$, então ela é negativa à esquerda, zero no vértice e positiva à direita.
- Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'$. Não esqueça o $u'$.
- Não confunda $x^2$ com $2^x$: $\frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2$.

A **derivada de $x^2$ é $2x$**. Normalmente é a primeira derivada que os alunos calculam à mão, e ela mostra toda a ideia de derivada em uma linha de álgebra.

$$\frac{d}{dx}\,x^2 = 2x$$

## Gráfico de x² e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = x² e de sua derivada y = 2x'
caption: 'Onde a parábola desce, $2x$ é negativa. No vértice a inclinação é $0$. Onde ela sobe, $2x$ é positiva.'
x: [-3, 3]
y: [-5, 7]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: 2x
    label: y = 2x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'vértice, inclinação 0']
  - [1, 1, '(1, 1), inclinação 2']
```

A derivada cresce à medida que $x$ cresce, então a parábola fica mais inclinada quanto mais você se afasta do vértice. É assim que se parece a concavidade para cima.

## Demonstração pela definição de limite

Comece por

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$$

Desenvolva o quadrado: $(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$. Os termos $x^2$ se cancelam:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\,(2x + h) = 2x$$

Você também pode chegar a isso pela [regra da potência](/rules/power-rule), ou pela [regra do produto](/rules/product-rule) com $x \cdot x$: $1\cdot x + x \cdot 1 = 2x$.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de u²

Quando algo diferente de $x$ está ao quadrado, use a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\,u^2 = 2u \cdot u'$$

| Função | Função de dentro $u$ | Derivada $2u\,u'$ |
| --- | --- | --- |
| $(3x + 1)^2$ | $3x + 1$ | $6(3x + 1)$ |
| $(x^2 + 5)^2$ | $x^2 + 5$ | $4x(x^2 + 5)$ |
| $\sin^2 x$ | $\sin x$ | $2\sin x\cos x$ |
| $(\ln x)^2$ | $\ln x$ | $\frac{2\ln x}{x}$ |

A terceira linha é resolvida em detalhes na página da [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x).

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um polinômio.** Derive $f(x) = 4x^2 - 3x + 8$:

$$f'(x) = 8x - 3$$

**Exemplo 2: uma reta tangente.** Encontre a tangente a $y = x^2$ em $x = 3$. O ponto é $(3, 9)$ e a inclinação é $2(3) = 6$:

$$y - 9 = 6(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = 6x - 9$$

**Exemplo 3: onde a inclinação é 5?** Resolva $2x = 5$ para obter $x = \frac{5}{2}$. O ponto da parábola é $\left(\frac{5}{2}, \frac{25}{4}\right)$.

**Exemplo 4: derivada segunda.** $\frac{d}{dx}(2x) = 2$, então $\frac{d^2}{dx^2}x^2 = 2$. Uma derivada segunda constante e positiva significa que a parábola se curva para cima em todo ponto.

## Erros comuns

1. **Escrever $2x^2$.** O expoente precisa diminuir uma unidade: $2x^1 = 2x$.
2. **Confundir $x^2$ com $2^x$.** Elas se parecem, mas $2^x$ é uma exponencial. Sua derivada é $2^x \ln 2$, veja a [derivada de 2ˣ](/derivatives/2-to-the-x).
3. **Esquecer o $u'$.** $\frac{d}{dx}(5x - 2)^2 = 10(5x - 2)$, não $2(5x - 2)$.
4. **Elevar a derivada ao quadrado.** $\frac{d}{dx}(x^2)$ não é $\left(\frac{d}{dx}x\right)^2 = 1$.

No sentido inverso, $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$ está na página da [integral de x²](/integrals/x-squared). Pratique mais com os [exercícios de regra da potência](/practice-problems/power-rule).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de x²?

A derivada de $x^2$ é $2x$. Pela regra da potência, $\frac{d}{dx}x^2 = 2x^{2-1} = 2x$.

### Como calcular a derivada de x² pela definição de limite?

Desenvolva $\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$. Quando $h \to 0$, isso tende a $2x$.

### Qual é a derivada de 3x²?

É $6x$. Multiplique a derivada de $x^2$ pela constante: $3 \cdot 2x = 6x$.

### Qual é a derivada de (2x + 1)²?

Pela regra da cadeia, é $2(2x + 1) \cdot 2 = 4(2x + 1) = 8x + 4$. Desenvolver primeiro para $4x^2 + 4x + 1$ dá a mesma resposta.