# Derivada de xˣ: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de xˣ é xˣ(ln x + 1). Aprenda dois métodos, a derivação logarítmica e a reescrita como e^(x ln x), além do gráfico e de exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-x-elevado-a-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1) $$

## Visão geral

- **Derivada:** $x^x(\ln x + 1)$ para $x > 0$
- **Reescrita-chave:** $x^x = e^{x\ln x}$
- **Método:** derivação logarítmica
- **Mínimo:** $x = \frac{1}{e}$, valor $e^{-1/e} \approx 0.692$
- **Forma geral:** $\dfrac{d}{dx}f^g = f^g\left(g'\ln f + \dfrac{gf'}{f}\right)$

## Pontos principais

- A derivada de $x^x$ é $x^x(\ln x + 1)$.
- Nem a regra da potência nem a regra da exponencial funcionam, porque a base e o expoente variam.
- Aplique $\ln$ dos dois lados (derivação logarítmica), ou reescreva $x^x = e^{x\ln x}$ e use a regra da cadeia.
- O gráfico tem mínimo em $x = \frac{1}{e}$, onde $\ln x + 1 = 0$.

A **derivada de $x^x$ é $x^x(\ln x + 1)$**. É o exemplo clássico de função que precisa de [derivação logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation).

$$\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1), \qquad x > 0$$

## Por que as regras usuais falham

| Função | Base | Expoente | Regra | Derivada |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^3$ | variável | constante | regra da potência | $3x^2$ |
| $3^x$ | constante | variável | regra da exponencial | $3^x\ln 3$ |
| $x^x$ | variável | variável | nenhuma sozinha | $x^x(\ln x + 1)$ |

Aplicar a regra da potência dá $x\cdot x^{x-1} = x^x$, e aplicar a regra da exponencial dá $x^x\ln x$. As duas estão erradas. Curiosamente, a resposta correta é a soma delas.

## Método 1: derivação logarítmica

Seja $y = x^x$. Aplique o logaritmo natural dos dois lados para descer o expoente:

$$\ln y = x\ln x$$

Derive os dois lados. O lado esquerdo precisa de [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation), e o lado direito precisa da regra do produto (é a [derivada de x ln x](/derivatives/x-ln-x)):

$$\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx} = \ln x + 1$$

Multiplique por $y = x^x$:

$$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$

## Método 2: reescrever na base e

Como $x = e^{\ln x}$, temos $x^x = e^{x\ln x}$. Agora use a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) com função de fora $e^u$:

$$\frac{d}{dx}e^{x\ln x} = e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln x) = x^x(\ln x + 1)$$

Os dois métodos são, no fundo, a mesma ideia. Use o que parecer mais natural.

## Gráfico de xˣ e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = xˣ e de sua derivada'
caption: 'A curva desce até seu menor valor, cerca de $0.692$, em $x = \frac{1}{e}$, e depois cresce muito rápido. Em $x = 1$ tanto o valor quanto a inclinação são iguais a $1$.'
x: [-0.2, 2.2]
y: [-1.5, 6]
functions:
  - expr: x^x
    label: y = xˣ
    domain: [0.01, 2.1]
  - expr: x^x*(ln(x) + 1)
    label: y = xˣ(ln x + 1) (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.08, 1.75]
points:
  - [0.3679, 0.6922, 'mínimo (1/e; 0,692)']
  - [1, 1, '(1, 1), inclinação 1']
```

Como $x^x > 0$, o sinal da derivada depende só de $\ln x + 1$. Ele é negativo para $x < \frac{1}{e}$ e positivo depois, então o mínimo está em $x = \frac{1}{e}$. Seu valor é $\left(e^{-1}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: inclinação em x = 2.** $\frac{d}{dx}x^x\big|_{x = 2} = 2^2(\ln 2 + 1) = 4(1.693) \approx 6.77$.

**Exemplo 2: x elevado a sen x.** Seja $y = x^{\sin x}$. Então $\ln y = \sin x\ln x$, e

$$\frac{y'}{y} = \cos x\ln x + \frac{\sin x}{x} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$

**Exemplo 3: x elevado a 1/x.** Seja $y = x^{1/x}$. Então $\ln y = \frac{\ln x}{x}$, e a regra do quociente dá

$$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{1/x}\cdot\frac{1 - \ln x}{x^2}$$

Isso se anula em $x = e$, então $x^{1/x}$ é máxima em $x = e$, com valor $e^{1/e} \approx 1.445$.

**Exemplo 4: x elevado a x ao quadrado.** Para $y = x^{x^2}$, $\ln y = x^2\ln x$, então $y' = x^{x^2}(2x\ln x + x)$.

## Erros comuns

1. **Regra da potência:** $x\cdot x^{x-1} = x^x$. Errado, porque o expoente não é constante.
2. **Regra da exponencial:** $x^x\ln x$. Errado, porque a base não é constante.
3. **Esquecer de multiplicar por $y$ no final** da derivação logarítmica, deixando só $\ln x + 1$.

Para mais sobre esse método, veja os [exercícios de derivação implícita](/practice-problems/implicit-differentiation) e a [derivada de 2ˣ e aˣ](/derivatives/2-to-the-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de x^x?

A derivada de $x^x$ é $x^x(\ln x + 1)$, para $x > 0$.

### Por que não posso usar a regra da potência em x^x?

A regra da potência exige expoente constante, e a regra da exponencial exige base constante. Em $x^x$ os dois variam, então você precisa usar derivação logarítmica ou reescrever como $e^{x\ln x}$.

### Qual é a derivada de x^(sen x)?

Com derivação logarítmica: $x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$.

### Onde está o mínimo de x^x?

Em $x = \frac{1}{e} \approx 0.368$, onde a derivada é zero. O valor mínimo é $\left(\frac{1}{e}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692$.