# Derivada de x ln x: fórmula, passo a passo e exemplos

> A derivada de x ln x é ln x + 1. Veja os passos com a regra do produto, o mínimo em x = 1/e, a derivada segunda, o gráfico e exemplos parecidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-x-ln-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1 $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\ln x + 1$ para $x > 0$
- **Derivada segunda:** $\dfrac{1}{x}$
- **Mínimo:** $x = \frac{1}{e}$, valor $-\frac{1}{e} \approx -0.368$
- **Limite em 0:** $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$
- **Integral:** $\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $x\ln x$ é $\ln x + 1$, obtida com a regra do produto.
- Igualar $\ln x + 1 = 0$ dá um mínimo em $x = \frac{1}{e}$, com valor $-\frac{1}{e}$.
- A derivada segunda é $\frac{1}{x} > 0$, então o gráfico tem concavidade para cima em todo o domínio.
- Lido ao contrário, o resultado mostra que $\int(\ln x + 1)\,dx = x\ln x + C$, o passo-chave para integrar $\ln x$.

A **derivada de $x\ln x$ é $\ln x + 1$**. É um produto, então a [regra do produto](/rules/product-rule) faz todo o trabalho.

$$\frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1, \qquad x > 0$$

## Passo a passo com a regra do produto

A regra do produto diz que $(fg)' = f'g + fg'$. Tome $f = x$ e $g = \ln x$:

1. $f' = 1$.
2. $g' = \frac{1}{x}$, pela [derivada de ln x](/derivatives/ln-x).
3. Junte: $1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1$.

O $x$ da frente cancela o $\frac{1}{x}$ vindo do logaritmo, deixando uma resposta limpa.

## Gráfico de x ln x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = x ln x e de sua derivada y = ln x + 1'
caption: 'A função desce até um mínimo de $-\frac{1}{e}$ em $x = \frac{1}{e}$, exatamente onde sua derivada passa por zero.'
x: [-0.3, 3]
y: [-2, 3.5]
functions:
  - expr: x*ln(x)
    label: y = x ln x
    domain: [0.005, 3]
  - expr: ln(x) + 1
    label: y = ln x + 1 (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.15, 3]
points:
  - [0.3679, -0.3679, 'mínimo (1/e, −1/e)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

## Encontrando o mínimo

Iguale a derivada a zero:

$$\ln x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Para $x < \frac{1}{e}$ a derivada é negativa, e para $x > \frac{1}{e}$ é positiva, então este é um ponto de mínimo. Seu valor é

$$\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e} = \frac{1}{e}\cdot(-1) = -\frac{1}{e} \approx -0.368$$

A derivada segunda confirma: $\frac{d^2}{dx^2}x\ln x = \frac{1}{x}$, que é positiva para todo $x > 0$, então a curva tem concavidade para cima em todo o domínio.

## O que acontece perto de x = 0

O gráfico parece começar na origem, embora $x\ln x$ não esteja definida em $0$. Isso acontece porque $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$. Escreva como $\frac{\ln x}{1/x}$ e aplique a [regra de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule):

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+}(-x) = 0$$

Enquanto isso, a inclinação $\ln x + 1$ vai para $-\infty$, então a curva sai da origem quase na vertical.

## Exemplos relacionados

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$. Isso mostra que $x\ln x - x$ é uma primitiva de $\ln x$; veja a [integral de ln x](/integrals/ln-x).

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}x^2\ln x = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)$.

**Exemplo 3.** $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$, pela [regra do quociente](/rules/quotient-rule). Seu máximo está em $x = e$.

**Exemplo 4.** $\frac{d}{dx}x\ln(3x) = \ln(3x) + 1$, já que $\frac{d}{dx}\ln(3x) = \frac{1}{x}$ também.

## Erros comuns

1. **Multiplicar as derivadas.** $1\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ não é a regra do produto. Você precisa dos dois termos.
2. **Esquecer o domínio.** $x\ln x$ só existe para $x > 0$, então a busca pelo mínimo acontece só ali.
3. **Confundir com $x^x$.** $\frac{d}{dx}x^x = x^x(\ln x + 1)$. O fator $\ln x + 1$ aparece porque $x^x = e^{x\ln x}$; veja a [derivada de xˣ](/derivatives/x-to-the-x).

No sentido inverso, a [integral de x ln x](/integrals/x-ln-x) usa integração por partes. Pratique mais a regra do produto nos [exercícios de regra do produto e do quociente](/practice-problems/product-and-quotient-rules).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de x ln x?

A derivada de $x\ln x$ é $\ln x + 1$.

### Qual é a derivada segunda de x ln x?

Derive $\ln x + 1$ para obter $\frac{1}{x}$.

### Onde está o mínimo de x ln x?

Em $x = \frac{1}{e} \approx 0.368$, onde $\ln x + 1 = 0$. O valor mínimo é $\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$.

### Qual é a derivada de x ln x − x?

É $(\ln x + 1) - 1 = \ln x$. É por isso que $\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C$.