# Derivada de xeˣ: fórmula, passo a passo e exemplos

> A derivada de xeˣ é eˣ(x + 1). Veja os passos com a regra do produto, o mínimo em x = −1, o padrão da derivada de ordem n, o gráfico e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-x-vezes-e-elevado-a-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,xe^x = e^x(x + 1) $$

## Visão geral

- **Derivada:** $e^x(x + 1)$
- **Derivada segunda:** $e^x(x + 2)$
- **Derivada de ordem n:** $e^x(x + n)$
- **Mínimo:** $x = -1$, valor $-\frac{1}{e} \approx -0.368$
- **Integral:** $\int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C$

## Pontos principais

- A derivada de $xe^x$ é $e^x + xe^x = e^x(x + 1)$, pela regra do produto.
- Cada nova derivada soma $1$ dentro do parêntese: a derivada de ordem $n$ é $e^x(x + n)$.
- A função tem mínimo em $x = -1$ e ponto de inflexão em $x = -2$.
- Colocar $e^x$ em evidência facilita igualar a derivada a zero, já que $e^x$ nunca é $0$.

A **derivada de $xe^x$ é $e^x(x + 1)$**. É um produto de $x$ por $e^x$, então a [regra do produto](/rules/product-rule) é a ferramenta certa.

$$\frac{d}{dx}\,xe^x = e^x + xe^x = e^x(x + 1)$$

## Passo a passo com a regra do produto

Com $f = x$ e $g = e^x$, a regra do produto $(fg)' = f'g + fg'$ dá:

1. $f' = 1$.
2. $g' = e^x$, já que a [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) é ela mesma.
3. Junte: $1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x + xe^x$.
4. Coloque $e^x$ em evidência: $e^x(x + 1)$.

A forma fatorada é mais útil. Como $e^x$ nunca é zero, a derivada só se anula onde $x + 1 = 0$.

## Gráfico de xeˣ e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = xeˣ e de sua derivada y = eˣ(x + 1)'
caption: 'A função tem seu ponto mais baixo em $x = -1$, onde a derivada passa por zero. À esquerda ela se achata em direção a $0$; à direita ela dispara.'
x: [-6, 2]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: x*exp(x)
    label: y = xeˣ
    domain: [-6, 1.2]
  - expr: (x+1)*exp(x)
    label: y = eˣ(x + 1) (derivada)
    dashed: true
    domain: [-6, 0.75]
points:
  - [-1, -0.3679, 'mínimo (−1, −1/e)']
  - [-2, -0.2707, 'inflexão (−2, −2/e²)']
```

## Mínimo e ponto de inflexão

**Mínimo.** A derivada $e^x(x + 1)$ é negativa para $x < -1$ e positiva para $x > -1$. Então $x = -1$ é um ponto de mínimo, com valor

$$(-1)e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0.368$$

**Ponto de inflexão.** A derivada segunda é

$$\frac{d}{dx}\,e^x(x + 1) = e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 2)$$

Ela muda de sinal em $x = -2$, então o gráfico passa de concavidade para baixo para concavidade para cima ali. O ponto é $\left(-2, -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2, -0.271)$.

## O padrão da derivada de ordem n

Toda vez que você deriva $e^x(x + k)$, obtém $e^x(x + k) + e^x = e^x(x + k + 1)$. Então:

| Derivada | Resultado |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $e^x(x + 1)$ |
| $f''(x)$ | $e^x(x + 2)$ |
| $f'''(x)$ | $e^x(x + 3)$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $e^x(x + n)$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: versão com decaimento.** Para $f(x) = xe^{-x}$, use a regra da cadeia em $e^{-x}$ (veja [e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x)):

$$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$$

Agora o ponto crítico é um máximo, em $x = 1$.

**Exemplo 2: uma potência maior.** Para $g(x) = x^2e^x$,

$$g'(x) = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(x + 2)$$

Os pontos críticos estão em $x = 0$ e $x = -2$.

**Exemplo 3: um expoente multiplicado.** Para $h(x) = xe^{3x}$,

$$h'(x) = e^{3x} + 3xe^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$$

**Exemplo 4: uma reta tangente.** Em $x = 0$, $xe^x = 0$ e a inclinação é $e^0(0 + 1) = 1$. A reta tangente é $y = x$.

## Erros comuns

1. **Multiplicar as duas derivadas.** $1\cdot e^x = e^x$ não é a regra do produto; isso perde o termo $xe^x$.
2. **Dar $xe^x$ como resposta.** A derivada de $e^x$ é $e^x$, mas o produto com $x$ ainda exige a regra do produto.
3. **Não fatorar.** Deixar $e^x + xe^x$ está correto, mas fatorar torna muito mais fácil encontrar os pontos críticos.

No sentido inverso, $\int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C$ por integração por partes; veja a [integral de xeˣ](/integrals/x-e-to-the-x). Confira: $\frac{d}{dx}e^x(x - 1) = e^x(x - 1) + e^x = xe^x$. Pratique com os [exercícios de regra do produto e do quociente](/practice-problems/product-and-quotient-rules).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de xe^x?

A derivada de $xe^x$ é $e^x + xe^x$, que fatorada fica $e^x(x + 1)$.

### Qual é a derivada segunda de xe^x?

Derive $e^x(x + 1)$ com a regra do produto: $e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 2)$.

### Qual é a derivada de ordem n de xe^x?

É $e^x(x + n)$. Cada derivada acrescenta mais um termo $e^x$.

### Qual é a derivada de xe^(−x)?

Pela regra do produto, $e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.