# Derivada de x: fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de x é 1. Veja por que pela definição de limite e pela regra da potência, além das derivadas de 5x, ax + b e de x em relação a outras variáveis.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-de-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x = 1 $$

## Visão geral

- **Derivada:** $1$ para todo $x$ real
- **Múltiplo de x:** $\dfrac{d}{dx}(ax) = a$
- **Função afim:** $\dfrac{d}{dx}(ax + b) = a$
- **Pela regra da potência:** $x = x^1$, então a derivada é $1 \cdot x^0 = 1$
- **Versão para integrais:** $\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $x$ é $1$, porque a reta $y = x$ tem inclinação $1$ em todo ponto.
- Qualquer múltiplo funciona do mesmo jeito: $\frac{d}{dx}(ax) = a$, então $\frac{d}{dx}(5x) = 5$.
- Constantes somadas não mudam a inclinação: $\frac{d}{dx}(ax + b) = a$.
- Em relação a outra variável, $x$ pode ser uma constante: $\frac{d}{dt}\,x = 0$ se $x$ não depende de $t$.

A **derivada de $x$ é $1$**. A função $y = x$ é uma reta com inclinação $1$, e a derivada de uma reta é simplesmente sua inclinação.

$$\frac{d}{dx}\,x = 1$$

## Gráfico de x e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = x e de sua derivada y = 1'
caption: 'A reta $y = x$ tem a mesma inclinação em todo ponto, então sua derivada é a reta horizontal $y = 1$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: x
    label: y = x
  - expr: 1
    label: y = 1 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [2, 2, '(2, 2)']
  - [2, 1, 'inclinação 1']
```

Como a inclinação nunca muda, a derivada é uma constante. Escolha dois pontos quaisquer da reta: a variação vertical é sempre igual à variação horizontal.

## Demonstração pela definição de limite

A [definição de derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) diz que

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Com $f(x) = x$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1$$

O $h$ se cancela antes mesmo de você calcular o limite, então não há nada difícil a resolver.

## Demonstração pela regra da potência

Escreva $x$ como $x^1$. A [regra da potência](/rules/power-rule) diz para descer o expoente e diminuí-lo em uma unidade:

$$\frac{d}{dx}\,x^1 = 1 \cdot x^0 = 1$$

Isso usa $x^0 = 1$, que vale para todo $x \ne 0$, e a demonstração por limite cobre também $x = 0$.

## Múltiplos e funções afins

Com a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule) e a [regra da constante](/rules/constant-rule), toda função afim fica fácil:

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $5x$ | $5$ |
| $-x$ | $-1$ |
| $\frac{x}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
| $3x - 7$ | $3$ |
| $\pi x + e$ | $\pi$ |

A derivada de uma reta $y = mx + b$ é sempre $m$, sua inclinação (coeficiente angular). O termo independente $b$ só desloca a reta para cima ou para baixo, então não afeta o quanto ela é inclinada. Veja a [derivada de uma constante](/derivatives/constant) para entender por que o $b$ desaparece.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma soma.** Derive $f(x) = x^2 + 4x - 9$:

$$f'(x) = 2x + 4$$

O termo $4x$ contribui com $4$ e o $-9$ contribui com $0$. O termo $x^2$ usa a [derivada de x²](/derivatives/x-squared).

**Exemplo 2: conferindo com o produto.** Escreva $x^2 = x \cdot x$ e use a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(x \cdot x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$

Isso confere com a regra da potência, o que é uma boa verificação.

**Exemplo 3: outra variável.** Em $\frac{d}{dt}(xt)$, quando $x$ não depende de $t$, trate $x$ como constante: a resposta é $x$.

## Erros comuns

1. **Responder $0$.** Só constantes têm derivada $0$. A função $x$ varia, então sua derivada é $1$.
2. **Dar $x$ como resposta.** A derivada de $x$ não é $x$. Isso vale para $e^x$, não para $x$.
3. **Manter o termo constante.** $\frac{d}{dx}(3x + 7) = 3$, não $3 + 7$ nem $10$.

A pergunta inversa, $\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$, está na página da [integral de x](/integrals/x). Para treinar, tente os [exercícios de regra da potência](/practice-problems/power-rule).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de x?

A derivada de $x$ em relação a $x$ é $1$. O gráfico $y = x$ é uma reta que sobe 1 unidade para cada 1 unidade para a direita.

### Qual é a derivada de 2x?

É $2$. Pela regra da constante multiplicativa, $\frac{d}{dx}(2x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}x = 2 \cdot 1 = 2$.

### Por que a derivada de x não é 0?

Uma derivada igual a $0$ significa que a função é plana. A reta $y = x$ não é plana: ela sobe com inclinação $1$. Só constantes, como $7$ ou $\pi$, têm derivada $0$.

### Qual é a derivada de x em relação a y?

Se $x$ e $y$ são independentes, $\frac{d}{dy}\,x = 0$. Se $x$ depende de $y$, a resposta é $\frac{dx}{dy}$, que é $\frac{1}{dy/dx}$ quando $dy/dx \ne 0$.