# Derivada de |x| (módulo de x): fórmula, demonstração e exemplos

> A derivada de |x| é x/|x|: 1 para x > 0, -1 para x < 0 e indefinida em 0. Veja a demonstração, o bico em 0 e a regra da cadeia para |u|.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/derivadas/derivada-do-modulo-de-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} $$

## Visão geral

- **Derivada:** $\dfrac{x}{\lvert x\rvert}$ para $x \ne 0$
- **Forma por partes:** $1$ para $x > 0$, $-1$ para $x < 0$
- **Em x = 0:** Não existe, o gráfico tem um bico
- **Com a regra da cadeia:** $\dfrac{d}{dx}\lvert u\rvert = \dfrac{u}{\lvert u\rvert}\,u'$
- **Versão para integrais:** $\int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$

## Pontos principais

- A derivada de $\lvert x\rvert$ é $1$ para $x > 0$ e $-1$ para $x < 0$.
- Uma fórmula compacta é $\frac{x}{\lvert x\rvert}$, também escrita $\operatorname{sgn}(x)$.
- Em $x = 0$ as inclinações à esquerda e à direita não coincidem, então $\lvert x\rvert$ não é diferenciável ali.
- $\lvert x\rvert$ é contínua em todo ponto, então mostra que contínua não implica diferenciável.

A **derivada de $\lvert x\rvert$ é $\dfrac{x}{\lvert x\rvert}$**. Em termos simples, a inclinação é $1$ à direita de $0$, $-1$ à esquerda de $0$, e não existe inclinação no próprio $0$.

$$\frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$$

## Gráfico de |x| e de sua derivada

```graph
title: 'Gráfico de y = |x| e de sua derivada'
caption: 'O formato em V tem inclinação $-1$ à esquerda e $1$ à direita. A derivada dá um salto em $x = 0$, onde não está definida.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 4]
functions:
  - expr: abs(x)
    label: y = |x|
  - expr: abs(x)/x
    label: derivada
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'bico, sem derivada']
```

## Demonstração, parte por parte

Divida $\lvert x\rvert$ em suas duas partes. Para $x > 0$, $\lvert x\rvert = x$, então a derivada é $1$. Para $x < 0$, $\lvert x\rvert = -x$, então a derivada é $-1$. Nos dois casos o resultado é igual a $\frac{x}{\lvert x\rvert}$: dividir um número pelo seu módulo dá apenas o seu sinal.

## Por que não existe derivada em 0

Observe o quociente de Newton em $x = 0$:

$$\frac{\lvert 0 + h\rvert - \lvert 0\rvert}{h} = \frac{\lvert h\rvert}{h}$$

Pela direita ($h > 0$) isso vale $1$. Pela esquerda ($h < 0$) vale $-1$. Os limites laterais não coincidem, então o limite não existe. O gráfico tem um bico, e nenhuma reta tangente única se ajusta a ele. Este é o exemplo clássico da lição sobre [diferenciabilidade](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability).

Outra forma de escrever o resultado é $\frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \frac{x}{\sqrt{x^2}}$, já que $\lvert x\rvert = \sqrt{x^2}$. Derivar $\sqrt{x^2}$ com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) dá $\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}$, a mesma fórmula.

## A versão com a regra da cadeia: derivada de |u|

$$\frac{d}{dx}\,\lvert u\rvert = \frac{u}{\lvert u\rvert}\cdot u', \qquad u \ne 0$$

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}\lvert 3x\rvert = \frac{3x}{\lvert 3x\rvert}\cdot 3$, que vale $3$ para $x > 0$ e $-3$ para $x < 0$.

**Exemplo 2.** $\frac{d}{dx}\lvert x^2 - 4\rvert = \frac{(x^2 - 4)\cdot 2x}{\lvert x^2 - 4\rvert}$. Para $\lvert x\rvert > 2$ isso é $2x$. Para $\lvert x\rvert < 2$ é $-2x$. Em $x = \pm 2$ o gráfico tem bicos e não há derivada.

**Exemplo 3.** $\frac{d}{dx}\lvert\sin x\rvert = \frac{\sin x\cos x}{\lvert\sin x\rvert}$, indefinida sempre que $\sin x = 0$.

## Uma função construída a partir de |x| que é diferenciável

Multiplicar por $x$ suaviza o bico. Tome $f(x) = x\lvert x\rvert$. Para $x > 0$ ela é $x^2$, para $x < 0$ é $-x^2$, então $f'(x) = 2\lvert x\rvert$. Em $0$ o quociente de Newton é $\frac{h\lvert h\rvert}{h} = \lvert h\rvert \to 0$, então $f'(0) = 0$ existe. Essa $f$ também é uma primitiva de $2\lvert x\rvert$, e é assim que se encontra a [integral de |x|](/integrals/absolute-value-of-x).

## Erros comuns

1. **Responder $\lvert 1\rvert = 1$.** A derivada não é $1$ em todo ponto. Do lado esquerdo ela é $-1$.
2. **Dizer que $f'(0) = 0$.** O bico não tem reta tangente, então a derivada em $0$ não existe.
3. **Achar que contínua significa diferenciável.** $\lvert x\rvert$ é contínua em $0$, mas mesmo assim não tem derivada ali.

Para a função em si, veja a página da [função módulo](/functions/absolute-value-function).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de |x|?

É $\frac{x}{\lvert x\rvert}$, que vale $1$ quando $x > 0$ e $-1$ quando $x < 0$. Ela não existe em $x = 0$.

### Por que |x| não é diferenciável em 0?

A inclinação pela direita é $1$ e a inclinação pela esquerda é $-1$. Os dois limites laterais do quociente de Newton são diferentes, então a derivada não existe.

### Qual é a derivada de |x| em x = 3?

É $1$, porque perto de $x = 3$ a função é simplesmente $x$.

### Qual é a derivada de |x - 2|?

É $\frac{x - 2}{\lvert x - 2\rvert}$: $1$ para $x > 2$, $-1$ para $x < 2$ e indefinida em $x = 2$.