# Exercícios de antiderivadas (primitivas) resolvidos, com respostas > 12 exercícios de antiderivadas com respostas e resolução passo a passo: regra da potência, trigonométricas, exponenciais e problemas de valor inicial. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-antiderivadas Atualizado: 2026-11-06 $$ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 6 - **Pré-requisitos:** A [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule) e as derivadas básicas - **Ideia principal:** Pergunte qual função tem essa derivada e depois some $+C$ - **Pratique com novos números:** [Lições de antiderivadas](/learn/calculus-1/integrals/undoing-derivatives) ## Pontos principais - Use a regra da potência inversa termo a termo: some um ao expoente e divida pelo novo expoente. - Reescreva raízes e frações como potências antes de integrar e lembre que $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. - Em um problema de valor inicial, encontre primeiro a antiderivada geral e depois use o ponto dado para achar $C$. Estes **exercícios de antiderivadas** começam com a regra da potência e avançam até funções trigonométricas, exponenciais e problemas de valor inicial. Tente cada um antes de ler a resolução. As respostas vêm primeiro para você conferir rapidamente, e as resoluções completas vêm em seguida. A regra que você mais vai usar: $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$$ Some um ao expoente, divida pelo novo expoente e some $+C$. A única exceção é $n = -1$, em que $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. Para revisar, leia a página da [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule). ## Exercícios **Regra da potência** 1. $\displaystyle\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx$ 2. $\displaystyle\int 3\sqrt{x}\,dx$ 3. $\displaystyle\int \frac{1}{x^3}\,dx$ 4. $\displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx$ **Trigonométricas e exponenciais** 5. $\displaystyle\int (2e^x + \cos x)\,dx$ 6. $\displaystyle\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx$ 7. $\displaystyle\int \frac{4}{1 + x^2}\,dx$ **Simplifique primeiro** 8. $\displaystyle\int (x^2 + 1)^2\,dx$ 9. $\displaystyle\int \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x}}\,dx$ **Problemas de valor inicial** 10. Encontre $f(x)$ sabendo que $f'(x) = 6x^2 - 4$ e $f(1) = 5$. 11. Encontre $f(x)$ sabendo que $f''(x) = 12x$, $f'(0) = 3$ e $f(0) = -1$. 12. Uma partícula tem velocidade $v(t) = 3t^2 - 2t$ e posição $s(0) = 4$. Encontre $s(2)$. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $x^4 - 3x^2 + 2x + C$ | | 2 | $2x^{3/2} + C$ | | 3 | $-\dfrac{1}{2x^2} + C$ | | 4 | $5\ln\lvert x\rvert + C$ | | 5 | $2e^x + \sin x + C$ | | 6 | $\tan x + 3\cos x + C$ | | 7 | $4\arctan x + C$ | | 8 | $\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + x + C$ | | 9 | $\dfrac{2}{5}x^{5/2} + 6x^{1/2} + C$ | | 10 | $f(x) = 2x^3 - 4x + 7$ | | 11 | $f(x) = 2x^3 + 3x - 1$ | | 12 | $s(2) = 8$ | ## Resolução passo a passo **1.** Integre termo a termo. $4x^3$ vira $x^4$, $-6x$ vira $-3x^2$ e $2$ vira $2x$: $$\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx = x^4 - 3x^2 + 2x + C$$ **2.** Escreva $\sqrt{x} = x^{1/2}$. O novo expoente é $\frac{3}{2}$, então divida por $\frac{3}{2}$: $$3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2x^{3/2} + C$$ **3.** Escreva $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. O novo expoente é $-2$: $$\frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$ **4.** Este é o caso $n = -1$, então a regra da potência não se aplica. Use a regra do logaritmo (veja a [integral de 1/x](/integrals/1-over-x)): $$\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln|x| + C$$ **5.** A derivada de $e^x$ é $e^x$ e a derivada de $\sin x$ é $\cos x$, então: $$\int (2e^x + \cos x)\,dx = 2e^x + \sin x + C$$ **6.** A derivada de $\tan x$ é $\sec^2 x$. A antiderivada de $\sin x$ é $-\cos x$, então $-3\sin x$ dá $+3\cos x$: $$\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx = \tan x + 3\cos x + C$$ **7.** A derivada de $\arctan x$ é $\frac{1}{1+x^2}$: $$\int \frac{4}{1+x^2}\,dx = 4\arctan x + C$$ **8.** Expanda primeiro: $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$. Depois integre cada termo: $$\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x + C$$ **9.** Separe a fração: $\frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{3}{x^{1/2}} = x^{3/2} + 3x^{-1/2}$. Então: $$\frac{x^{5/2}}{5/2} + 3\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + 6x^{1/2} + C$$ **10.** A antiderivada geral é $f(x) = 2x^3 - 4x + C$. Use $f(1) = 5$: $2 - 4 + C = 5$, logo $C = 7$: $$f(x) = 2x^3 - 4x + 7$$ **11.** Integre duas vezes, usando uma condição de cada vez. Primeiro $f'(x) = 6x^2 + C_1$, e $f'(0) = 3$ dá $C_1 = 3$. Depois $f(x) = 2x^3 + 3x + C_2$, e $f(0) = -1$ dá $C_2 = -1$: $$f(x) = 2x^3 + 3x - 1$$ **12.** A posição é uma antiderivada da velocidade: $s(t) = t^3 - t^2 + C$. Como $s(0) = 4$, $C = 4$. Então: $$s(2) = 8 - 4 + 4 = 8$$ ## Erros comuns nestes exercícios - **Esquecer o $+C$.** Uma integral indefinida é uma família inteira de funções. Deixar de escrever $+C$ custa pontos na maioria das provas. - **Usar a regra da potência em $\frac{1}{x}$.** Ela daria $\frac{x^0}{0}$, que não está definido. A resposta é $\ln|x| + C$. - **Erros de sinal com seno e cosseno.** A antiderivada de $\sin x$ é $-\cos x$, não $\cos x$. Derive a sua resposta para conferir. - **Integrar um produto fator por fator.** No exercício 8, $\int (x^2+1)^2\,dx$ não é $\frac{(x^2+1)^3}{3}$. Expanda primeiro ou confira derivando. - **Encontrar $C$ tarde demais.** No exercício 11, encontre $C_1$ antes de integrar de novo, senão você acaba com um termo desconhecido $C_1 x$. ## Continue praticando Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novos números e correção imediata, experimente a [lição da regra da potência inversa](/learn/calculus-1/integrals/reverse-power-rule) e a [lição de integrais trigonométricas e exponenciais](/learn/calculus-1/integrals/trig-exponential-integrals). Quando as antiderivadas parecerem fáceis, passe para os [exercícios de integral definida](/practice-problems/definite-integrals) e os [exercícios de substituição](/practice-problems/u-substitution). Para entender as ideias por trás, leia o [guia de antiderivadas](/blog/antiderivatives). ## Perguntas frequentes ### Como conferir uma antiderivada? Derive a sua resposta. Se voltar à função original, a antiderivada está certa. Essa verificação leva poucos segundos e pega a maioria dos erros de sinal e de coeficiente. ### Por que somamos +C a uma antiderivada? Toda constante tem derivada zero, então $x^2$, $x^2 + 5$ e $x^2 - 3$ têm todas derivada $2x$. O $+C$ representa todas elas de uma vez. Uma condição inicial escolhe um único valor de $C$. ### Existe regra do produto para antiderivadas? Não. A integral de um produto não é o produto das integrais. Expanda ou simplifique primeiro, como no exercício 8 abaixo, ou use [substituição](/practice-problems/u-substitution) ou integração por partes para produtos mais difíceis.