# Aproximação linear: exercícios resolvidos com respostas > 12 exercícios de aproximação linear com respostas e resoluções completas: linearização, estimativa de raízes e logaritmos, diferenciais e erro. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-aproximacao-linear Atualizado: 2026-11-06 $$ L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, unidade 4 - **Pré-requisitos:** Derivadas e [retas tangentes](/learn/calculus-1/the-derivative/tangent-lines) - **Ideia principal:** Perto de x = a, a função fica próxima da sua reta tangente, então use a reta para estimar - **Pratique com novos números:** [Lição de aproximação linear](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) ## Pontos principais - Escolha um ponto $a$ próximo do valor desejado em que $f(a)$ e $f'(a)$ sejam fáceis de calcular exatamente. - Se $f'' < 0$ perto de $a$, a reta tangente fica acima da curva e a estimativa é grande demais. Se $f'' > 0$, é pequena demais. - Os diferenciais usam a mesma ideia: $dy = f'(x)\,dx$ estima a variação $\Delta y$. Estes **exercícios de aproximação linear** começam com a construção de uma linearização, usam essa reta para estimar raízes, senos, logaritmos e potências e depois passam a diferenciais, erro de medida e estimativas por excesso ou por falta. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas. A linearização de $f$ em $x = a$ é a sua reta tangente: $$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$$ Para $x$ perto de $a$, $f(x) \approx L(x)$. Para o raciocínio e mais exemplos, leia o [guia de aproximação linear](/blog/linear-approximation). ## Exercícios **Linearização** 1. Encontre a linearização de $f(x) = \sqrt{x}$ em $a = 4$. 2. Use o exercício 1 para estimar $\sqrt{4.1}$. 3. Estime $\sqrt[3]{8.2}$. **Estimativa de valores** 4. Estime $\sin(0.1)$. 5. Estime $\ln(1.05)$. 6. Estime $e^{0.02}$. 7. Estime $(1.01)^{10}$. 8. Estime $\cos 62^\circ$. **Diferenciais e erro** 9. Para $y = x^3$, encontre $dy$ e $\Delta y$ quando $x = 2$ e $dx = 0.1$. 10. O raio de uma bola é medido como $10$ cm, com erro possível de $0.05$ cm. Estime o erro possível no volume calculado. **Usando o resultado** 11. A estimativa do exercício 2 é grande ou pequena demais? Explique. 12. Uma função tem $f(3) = 5$ e $f'(3) = -2$. Estime $f(3.2)$. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $L(x) = 2 + \dfrac{1}{4}(x - 4)$ | | 2 | $2.025$ (valor real $2.02485\ldots$) | | 3 | $2 + \dfrac{1}{60} \approx 2.0167$ (valor real $2.01653\ldots$) | | 4 | $0.1$ (valor real $0.09983\ldots$) | | 5 | $0.05$ (valor real $0.04879\ldots$) | | 6 | $1.02$ (valor real $1.02020\ldots$) | | 7 | $1.1$ (valor real $1.10462\ldots$) | | 8 | $\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}\,\pi}{180} \approx 0.4698$ (valor real $0.46947\ldots$) | | 9 | $dy = 1.2$, $\Delta y = 1.261$ | | 10 | Cerca de $20\pi \approx 62.8$ cm³ (erro relativo de $1.5\%$) | | 11 | Grande demais, porque $\sqrt{x}$ tem concavidade para baixo | | 12 | $4.6$ | ## Resoluções passo a passo **1.** $f(4) = 2$ e $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, então $f'(4) = \frac{1}{4}$: $$L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$$ **2.** Substitua $x = 4.1$ na reta: $$\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025$$ **3.** Use $f(x) = \sqrt[3]{x}$ em $a = 8$, já que $\sqrt[3]{8} = 2$. A derivada é $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$, então $f'(8) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}$: $$\sqrt[3]{8.2} \approx 2 + \frac{1}{12}(0.2) = 2 + \frac{1}{60} \approx 2.0167$$ **4.** Use $f(x) = \sin x$ em $a = 0$. $f(0) = 0$ e $f'(0) = \cos 0 = 1$, então $L(x) = x$: $$\sin(0.1) \approx 0.1$$ Essa é a aproximação para ângulos pequenos $\sin x \approx x$, que só funciona em radianos. **5.** Use $f(x) = \ln x$ em $a = 1$. $f(1) = 0$ e $f'(1) = 1$, então $L(x) = x - 1$: $$\ln(1.05) \approx 0.05$$ **6.** Use $f(x) = e^x$ em $a = 0$. $f(0) = 1$ e $f'(0) = 1$, então $L(x) = 1 + x$: $$e^{0.02} \approx 1.02$$ **7.** Use $f(x) = x^{10}$ em $a = 1$. $f(1) = 1$ e $f'(x) = 10x^9$, então $f'(1) = 10$: $$(1.01)^{10} \approx 1 + 10(0.01) = 1.1$$ **8.** Trabalhe em radianos. Use $a = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$, em que $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ e a inclinação é $-\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. O passo é $2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}$: $$\cos 62^\circ \approx \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\pi}{90} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\,\pi}{180} \approx 0.5 - 0.0302 = 0.4698$$ **9.** O diferencial é $dy = f'(x)\,dx = 3x^2\,dx$: $$dy = 3(2)^2(0.1) = 1.2$$ A variação real é $\Delta y = (2.1)^3 - 2^3 = 9.261 - 8 = 1.261$. O diferencial é uma estimativa próxima, porém mais simples. **10.** O volume é $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, então $dV = 4\pi r^2\,dr$: $$dV = 4\pi(10)^2(0.05) = 20\pi \approx 62.8 \text{ cm}^3$$ O volume é $\frac{4000\pi}{3} \approx 4189$ cm³, então o erro relativo é $\frac{20\pi}{4000\pi/3} = 0.015$, ou $1.5\%$. Isso é o triplo do erro de $0.5\%$ no raio, porque o raio está elevado ao cubo. **11.** Para $f(x) = \sqrt{x}$, $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$, então o gráfico tem concavidade para baixo. Uma curva com concavidade para baixo fica abaixo das suas retas tangentes, então a estimativa $2.025$ é um pouco grande demais. O valor real $2.02485$ confirma isso. **12.** Use a linearização em $a = 3$: $$f(3.2) \approx f(3) + f'(3)(0.2) = 5 - 2(0.2) = 4.6$$ ## Erros comuns nestes exercícios - **Escolher um $a$ distante.** Para estimar $\sqrt{4.1}$, use $a = 4$, e não $a = 1$. Quanto mais perto estiver o $a$, melhor a estimativa. - **Usar graus.** No exercício 8, o passo precisa estar em radianos, $\frac{\pi}{90}$, e não $2$. - **Confundir $dy$ com $\Delta y$.** $dy$ é a variação ao longo da reta tangente, e $\Delta y$ é a variação real ao longo da curva. - **Errar o $x - a$.** No exercício 3, o passo é $8.2 - 8 = 0.2$, e não $8.2$. ## Continue praticando Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novos números e correção na hora, faça a [lição de aproximação linear e TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt). O [Teorema do Valor Médio](/practice-problems/mean-value-theorem) é a versão exata da mesma ideia: a inclinação média em um intervalo é igual à inclinação da tangente em algum ponto dentro dele. Quando você precisar de mais precisão do que uma reta oferece, o próximo passo são os [polinômios de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials). ## Perguntas frequentes ### Qual é a fórmula da aproximação linear? A linearização de $f$ em $x = a$ é $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$, que é a reta tangente em $a$. Para $x$ perto de $a$, $f(x) \approx L(x)$. ### Como escolher o a em uma aproximação linear? Escolha um valor próximo do número que você quer estimar em que a função seja fácil de calcular exatamente. Para estimar $\sqrt{4.1}$, use $a = 4$. Para estimar $\sqrt[3]{8.2}$, use $a = 8$. Para estimar $\sin(0.1)$, use $a = 0$. ### Como saber se a aproximação linear é uma estimativa por excesso? Olhe a concavidade. Se o gráfico tem concavidade para baixo perto de $a$ ($f'' < 0$), a reta tangente fica acima dele e a estimativa é grande demais. Se tem concavidade para cima ($f'' > 0$), a estimativa é pequena demais.