# Exercícios de área entre curvas resolvidos, com respostas

> 10 exercícios de área entre curvas com respostas e resoluções completas: pontos de interseção, de cima menos de baixo, curvas que se cruzam e integração em y.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-area-entre-curvas
Atualizado: 2026-11-06

$$ A = \int_a^b \big(\text{de cima}(x) - \text{de baixo}(x)\big)\,dx $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 10, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1, Cálculo 2 e AP Calculus, Unidade 8
- **Pré-requisitos:** [Integrais definidas](/practice-problems/definite-integrals) e resolução de equações
- **Ideia principal:** Integre a curva de cima menos a curva de baixo entre os pontos onde elas se encontram
- **Pratique com novos números:** [Lição de área entre curvas](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves)

## Pontos principais

- Iguale as curvas para achar onde elas se encontram. Esses valores de $x$ são os limites de integração.
- Teste um ponto entre os limites para ver qual curva está em cima. Se elas se cruzam dentro do intervalo, divida a integral nesse ponto.
- Quando a região é limitada à esquerda e à direita, integre em $y$: curva da direita menos curva da esquerda.

Estes **exercícios de área entre curvas** começam com regiões simples e avançam para curvas que se cruzam e integração em relação a $y$. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rapidamente, e depois as resoluções completas.

A fórmula:

$$A = \int_a^b \big(\text{de cima}(x) - \text{de baixo}(x)\big)\,dx$$

Encontre onde as curvas se encontram, decida qual está em cima e integre a diferença. Para uma explicação mais longa, com figuras, leia o [guia de área entre curvas](/blog/area-between-curves).

```graph
title: 'Região entre y = x e y = x²'
caption: 'Exercício 1: a reta está em cima entre x = 0 e x = 1.'
x: [-0.5, 1.5]
y: [-0.5, 1.5]
functions:
  - expr: 'x'
    label: 'y = x'
  - expr: 'x^2'
    label: 'y = x²'
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 1, '(1, 1)']
```

## Exercícios

**Duas curvas, uma região**

1. $y = x$ e $y = x^2$
2. $y = 4 - x^2$ e $y = 0$
3. $y = 2x$ e $y = x^2$
4. $y = x^2 - 4$ e $y = 2 - x$
5. $y = \sqrt{x}$ e $y = x^2$

**Limites dados**

6. $y = \cos x$ e $y = \sin x$ de $x = 0$ a $x = \frac{\pi}{4}$
7. $y = e^x$ e $y = 1$ de $x = 0$ a $x = 1$
8. $y = x$ e $y = \frac{1}{x}$ de $x = 1$ a $x = 2$

**Montagens mais difíceis**

9. A região limitada por $x = y^2$ e $x = y + 2$
10. A área total entre $y = x^3$ e $y = x$ em $[-1, 1]$

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $\frac{1}{6}$ |
| 2 | $\frac{32}{3}$ |
| 3 | $\frac{4}{3}$ |
| 4 | $\frac{125}{6}$ |
| 5 | $\frac{1}{3}$ |
| 6 | $\sqrt{2} - 1 \approx 0.414$ |
| 7 | $e - 2 \approx 0.718$ |
| 8 | $\frac{3}{2} - \ln 2 \approx 0.807$ |
| 9 | $\frac{9}{2}$ |
| 10 | $\frac{1}{2}$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Faça $x = x^2$: $x = 0$ ou $x = 1$. Em $x = \frac{1}{2}$, a reta dá $0.5$ e a parábola $0.25$, então a reta está em cima:

$$\int_0^1(x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

**2.** A parábola corta o eixo $x$ em $x = \pm 2$:

$$\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}$$

**3.** Faça $2x = x^2$: $x = 0$ ou $x = 2$. Em $x = 1$, a reta está mais alta:

$$\int_0^2(2x - x^2)\,dx = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

**4.** Faça $x^2 - 4 = 2 - x$: $x^2 + x - 6 = 0$, logo $x = -3$ ou $x = 2$. Em $x = 0$, a reta dá $2$ e a parábola $-4$, então a reta está em cima:

$$\int_{-3}^{2}(6 - x - x^2)\,dx = \left[6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{2} = \frac{22}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{125}{6}$$

**5.** As curvas se encontram em $x = 0$ e $x = 1$, e $\sqrt{x}$ está em cima entre esses pontos:

$$\int_0^1\left(x^{1/2} - x^2\right)dx = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$

**6.** Em $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$, $\cos x \geq \sin x$:

$$\int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)\,dx = \Big[\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1$$

**7.** Em $[0, 1]$, $e^x \geq 1$:

$$\int_0^1(e^x - 1)\,dx = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$$

**8.** Para $x > 1$, $x > \frac{1}{x}$:

$$\int_1^2\left(x - \frac{1}{x}\right)dx = \left(2 - \ln 2\right) - \left(\frac{1}{2} - 0\right) = \frac{3}{2} - \ln 2$$

**9.** As duas curvas estão escritas como $x$ em função de $y$, então integre em $y$. Faça $y^2 = y + 2$: $y = -1$ ou $y = 2$. Em $y = 0$, a reta dá $x = 2$ e a parábola $x = 0$, então a reta está à direita:

$$\int_{-1}^{2}(y + 2 - y^2)\,dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}$$

**10.** As curvas se encontram em $x = -1, 0, 1$. Em $[0, 1]$, $x \geq x^3$. Em $[-1, 0]$, $x^3 \geq x$. Por simetria, as duas partes são iguais:

$$2\int_0^1(x - x^3)\,dx = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

Integrar $x - x^3$ em $[-1, 1]$ de uma só vez dá $0$, o que está errado.

## Erros comuns nestes exercícios

- **A de baixo menos a de cima.** Uma resposta negativa denuncia o erro. Teste um ponto para achar a curva de cima.
- **Não dividir no cruzamento.** No exercício 10, uma única integral faz as duas regiões se cancelarem e dá $0$.
- **Usar os limites errados.** Os limites vêm de onde as curvas se encontram, não dos pontos em que uma das curvas corta o eixo $x$.
- **Misturar $x$ e $y$.** No exercício 9, o integrando e os limites precisam estar ambos em $y$.

## Continue praticando

Para regiões ilimitadas com correção imediata, experimente a [lição de área entre curvas](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves) e a [lista de prática de aplicações](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/applications-practice). Em seguida, gire essas regiões em torno de um eixo nos [exercícios de volume de revolução](/practice-problems/volumes-of-revolution).

## Perguntas frequentes

### Como saber qual curva está em cima?

Escolha qualquer $x$ entre os limites e substitua nas duas funções. O maior valor indica a curva de cima em todo aquele trecho, desde que as curvas não se cruzem dentro dele.

### A área entre curvas pode ser negativa?

Não. Área é sempre positiva. Se você obteve um número negativo, subtraiu na ordem errada. Se as curvas se cruzam, divida a integral para que cada parte seja a de cima menos a de baixo.

### Quando integrar em relação a y?

Quando as curvas são mais fáceis de escrever como $x = f(y)$, ou quando integrar em $x$ exigiria várias partes. O exercício 9 é uma única integral em $y$, mas duas em $x$.