# Exercícios de cálculo de limites resolvidos, com respostas

> 12 exercícios de limites com respostas e resolução passo a passo: substituição direta, fatoração de 0/0, conjugado, limites trigonométricos e limites laterais.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-calculo-de-limites
Atualizado: 2026-11-06

$$ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \text{ quando } f \text{ é contínua em } a $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 1
- **Pré-requisitos:** Fatoração, frações e as [propriedades dos limites](/rules/limit-laws)
- **Ideia principal:** Substitua primeiro. Se der 0/0, simplifique e substitua de novo
- **Pratique com novos números:** [Lições de limites](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution)

## Pontos principais

- Sempre tente primeiro a substituição direta. Se der um número real, você terminou.
- Um resultado $\frac{0}{0}$ significa "simplifique primeiro": fatore, cancele, use o conjugado ou junte as frações e depois substitua de novo.
- Um número diferente de zero sobre $0$ significa que o limite é infinito ou não existe, então verifique os dois limites laterais.

Estes **exercícios de cálculo de limites** cobrem todos os métodos de que você precisa para limites finitos: substituição direta, fatoração, conjugado, soma de frações, os limites trigonométricos fundamentais e os limites laterais. Tente cada exercício primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

A estratégia para todos os exercícios:

$$\text{substitua} \;\to\; \text{se der } \tfrac{0}{0},\ \text{simplifique} \;\to\; \text{substitua de novo}$$

Para revisar por que isso funciona, leia [como calcular limites](/blog/how-to-evaluate-limits) e a regra da [substituição direta](/rules/direct-substitution).

## Exercícios

**Substituição direta**

1. $\displaystyle\lim_{x\to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)$
2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x + \cos x}{x + 1}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{\sqrt{x + 6}}{x - 1}$

**Fatorando uma forma 0/0**

4. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2 - 9}{x - 3}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to -2}\,\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}$
6. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\,\frac{x^3 - 1}{x - 1}$

**Conjugado e frações**

7. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$
8. $\displaystyle\lim_{x\to 4}\,\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{4}}{x - 4}$

**Limites trigonométricos**

9. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(5x)}{x}$
10. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos x}{x^2}$

**Limites laterais**

11. $\displaystyle\lim_{x\to 2^+}\,\frac{x + 1}{x - 2}$
12. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{|x|}{x}$

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $3$ |
| 2 | $2$ |
| 3 | $\dfrac{3}{2}$ |
| 4 | $6$ |
| 5 | $-\dfrac{1}{4}$ |
| 6 | $3$ |
| 7 | $\dfrac{1}{6}$ |
| 8 | $-\dfrac{1}{16}$ |
| 9 | $5$ |
| 10 | $\dfrac{1}{2}$ |
| 11 | $+\infty$ |
| 12 | Não existe (limite à esquerda $-1$, limite à direita $1$) |

## Resolução passo a passo

**1.** Polinômios são contínuos em toda parte, então substitua:

$$3(2)^2 - 5(2) + 1 = 12 - 10 + 1 = 3$$

**2.** O denominador não é zero em $x = 0$, então substitua:

$$\frac{e^0 + \cos 0}{0 + 1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$$

**3.** De novo, nada dá problema em $x = 3$:

$$\frac{\sqrt{3 + 6}}{3 - 1} = \frac{\sqrt{9}}{2} = \frac{3}{2}$$

**4.** A substituição dá $\frac{0}{0}$. Fatore a diferença de quadrados e cancele:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \;\to\; 3 + 3 = 6$$

**5.** A substituição dá $\frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}$. Fatore o numerador e o denominador:

$$\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+3}{x-2} \;\to\; \frac{-2+3}{-2-2} = -\frac{1}{4}$$

**6.** Use a diferença de cubos, $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$:

$$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2 + x + 1 \;\to\; 1 + 1 + 1 = 3$$

**7.** A substituição dá $\frac{0}{0}$. Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado $\sqrt{x+9} + 3$:

$$\frac{(x + 9) - 9}{x\left(\sqrt{x+9} + 3\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+9} + 3} \;\to\; \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$$

**8.** Junte as frações do numerador: $\frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x}{4x}$. Como $4 - x = -(x - 4)$:

$$\frac{-(x-4)}{4x(x-4)} = -\frac{1}{4x} \;\to\; -\frac{1}{16}$$

**9.** Use $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ com $\theta = 5x$. Multiplique e divida por $5$:

$$\frac{\sin(5x)}{x} = 5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x} \;\to\; 5\cdot 1 = 5$$

**10.** Multiplique por $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$ e use $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$:

$$\frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1 + \cos x} \;\to\; 1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

**11.** A substituição dá $\frac{3}{0}$, então o limite é infinito. Para $x$ um pouco maior que $2$, o numerador está perto de $3$ e o denominador é um número positivo pequeno, então a fração é grande e positiva: o limite é $+\infty$. Há uma assíntota vertical em $x = 2$.

**12.** Para $x > 0$, $|x| = x$, então a fração vale $1$. Para $x < 0$, $|x| = -x$, então a fração vale $-1$. Os limites laterais são $1$ e $-1$. Eles não coincidem, então o limite bilateral não existe.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Parar em 0/0.** No exercício 4, $\frac{0}{0}$ não é resposta. É um sinal de que você deve fatorar primeiro.
- **Cancelar termos em vez de fatores.** No exercício 5 você pode cancelar $(x+2)$ porque ele multiplica todo o numerador e todo o denominador. Nunca dá para cancelar o $x^2$ de $x^2 + 5x + 6$ e $x^2 - 4$.
- **Escrever $\frac{\sin 5x}{x} = \sin 5$.** Não dá para cancelar o $x$ dentro de um seno. O exercício 9 precisa do limite fundamental $\frac{\sin\theta}{\theta}\to 1$.
- **Ignorar o lado.** No exercício 11 o lado importa. Pela esquerda, a mesma fração vai para $-\infty$, então só o limite à direita é $+\infty$.

## Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com números novos e correção imediata em cada passo, experimente a lição de [substituição direta](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution), depois a de [fatoração de formas 0/0](/learn/calculus-1/limits/factoring-zero-over-zero) e a do [Teorema do Confronto](/learn/calculus-1/limits/squeeze-theorem). Quando estiver pronto para limites com $x\to\infty$, passe para os [exercícios de limites no infinito](/practice-problems/limits-at-infinity).

## Perguntas frequentes

### Qual é o primeiro passo para calcular um limite?

Substitua o valor na função. Se o resultado for um número real, esse é o limite. Só quando aparece uma forma como $\frac{0}{0}$ ou um número diferente de zero sobre zero é que você precisa de mais trabalho.

### O que significa 0/0 no cálculo de um limite?

É uma indeterminação. Não significa que o limite é 0 nem que ele não está definido. Significa que a expressão precisa ser simplificada, geralmente fatorando e cancelando um fator comum, antes de substituir de novo.

### Quando um limite não existe?

Um limite não existe quando os limites à esquerda e à direita são diferentes, como em $\frac{|x|}{x}$ em $0$, quando a função cresce sem limitação, ou quando ela oscila para sempre, como $\sin\frac{1}{x}$ perto de $0$.

### Quando devo usar o conjugado para calcular um limite?

Use-o quando aparece uma raiz quadrada em uma soma ou diferença e a substituição dá $\frac{0}{0}$, como em $\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$. Multiplicar pelo conjugado elimina a raiz do numerador, e assim um fator $x$ pode ser cancelado.