# Exercícios de continuidade de funções resolvidos, com respostas

> 12 exercícios de continuidade com respostas e resoluções: funções definidas por partes, achar k, tipos de descontinuidade e Teorema do Valor Intermediário.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-continuidade
Atualizado: 2026-11-06

$$ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 1
- **Pré-requisitos:** Limites laterais e [cálculo de limites](/practice-problems/evaluating-limits)
- **Ideia principal:** f é contínua em a quando f(a) existe, o limite existe e os dois são iguais
- **Pratique com novos números:** [Lição de continuidade](/learn/calculus-1/limits/continuity)

## Pontos principais

- Verifique três coisas em $x = a$: $f(a)$ está definida, $\lim_{x\to a} f(x)$ existe e os dois são iguais.
- Em uma função definida por partes, só é preciso verificar os pontos de quebra. Compare o limite à esquerda, o limite à direita e o valor nesse ponto.
- O Teorema do Valor Intermediário exige continuidade em um intervalo fechado. Sem ela, uma troca de sinal não garante um zero.

Estes **exercícios de continuidade** cobrem a definição com três condições, funções definidas por partes, como achar uma constante que torna a função contínua, a classificação de descontinuidades, os intervalos de continuidade e o Teorema do Valor Intermediário. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

Uma função $f$ é contínua em $x = a$ quando as três condições valem:

$$f(a) \text{ está definida}, \qquad \lim_{x\to a} f(x) \text{ existe}, \qquad \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$

Para saber mais sobre a ideia, leia o [guia de continuidade](/blog/continuity).

## Exercícios

**É contínua?**

1. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ é contínua em $x = 1$? Se não for, como você poderia corrigi-la?
2. $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x < 2 \\ 3x - 1 & x \ge 2 \end{cases}$ é contínua em $x = 2$?
3. $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 + 4 & x > 1 \end{cases}$ é contínua em $x = 1$?
4. $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ é contínua em $x = 0$?

**Torne a função contínua**

5. Encontre $k$ de modo que $f(x) = \begin{cases} kx + 3 & x < 2 \\ x^2 - k & x \ge 2 \end{cases}$ seja contínua em todos os pontos.
6. Encontre $a$ e $b$ de modo que $f(x) = \begin{cases} 3x + a & x < 1 \\ x^2 + bx & 1 \le x \le 2 \\ 10 & x > 2 \end{cases}$ seja contínua em todos os pontos.

**Tipos de descontinuidade e domínios**

7. Encontre e classifique as descontinuidades de $f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 5x + 6}$.
8. Onde $f(x) = \dfrac{\ln(x - 4)}{x - 6}$ é contínua?
9. Onde $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ é contínua?

**Teorema do Valor Intermediário**

10. Mostre que $x^3 + x - 1 = 0$ tem uma solução entre $0$ e $1$.
11. Mostre que $\cos x = x$ tem uma solução em $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
12. $f(x) = \frac{1}{x}$ tem $f(-1) = -1$ e $f(1) = 1$. O TVI garante que $f$ tem um zero em $[-1, 1]$?

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | Não, $f(1)$ não está definida. Removível: defina $f(1) = 2$ |
| 2 | Sim, os dois lados dão $5$ e $f(2) = 5$ |
| 3 | Não, descontinuidade de salto (esquerda $3$, direita $5$) |
| 4 | Sim |
| 5 | $k = \dfrac{1}{3}$ |
| 6 | $a = 1$, $b = 3$ |
| 7 | Removível em $x = 2$, infinita em $x = 3$ |
| 8 | $(4, 6)\cup(6, \infty)$ |
| 9 | $[-3, 3]$ |
| 10 | $f(0) = -1 < 0$ e $f(1) = 1 > 0$, então existe uma raiz pelo TVI |
| 11 | $g(x) = \cos x - x$ troca de sinal no intervalo, então existe uma raiz |
| 12 | Não. $f$ não é contínua em $[-1, 1]$ e não tem zero |

## Resolução passo a passo

**1.** Em $x = 1$ o denominador é $0$, então $f(1)$ não está definida e $f$ não é contínua nesse ponto. O limite, porém, existe:

$$\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x + 1) = 2$$

Trata-se de uma descontinuidade removível, um buraco em $(1, 2)$. Definir $f(1) = 2$ preenche o buraco e torna $f$ contínua.

**2.** Verifique as três condições:

- Limite à esquerda: $2^2 + 1 = 5$.
- Limite à direita: $3(2) - 1 = 5$.
- Valor: $f(2) = 3(2) - 1 = 5$.

Os três coincidem, então $f$ é contínua em $x = 2$.

**3.** O limite à esquerda é $2(1) + 1 = 3$ e o limite à direita é $1^2 + 4 = 5$. Os limites laterais são diferentes, então o limite não existe. É uma descontinuidade de salto.

**4.** O valor é $f(0) = 1$, e o limite fundamental dá $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$. Eles coincidem, então $f$ é contínua em $0$.

**5.** Cada parte é um polinômio, então só é preciso verificar $x = 2$. Iguale o limite à esquerda ao limite à direita:

$$2k + 3 = 4 - k \quad\Rightarrow\quad 3k = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{3}$$

**6.** Há dois pontos de quebra, então você obtém duas equações.

Em $x = 2$: a parte do meio dá $4 + 2b$ e a parte da direita dá $10$, logo $b = 3$.

Em $x = 1$: a parte da esquerda dá $3 + a$ e a parte do meio dá $1 + b = 4$, logo $a = 1$.

**7.** Fatore o denominador: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, então $f$ não está definida em $x = 2$ e $x = 3$.

$$f(x) = \frac{x - 2}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{1}{x - 3} \quad (x \ne 2)$$

Em $x = 2$ o limite é $\frac{1}{2 - 3} = -1$, então essa é uma descontinuidade removível. Em $x = 3$ a forma simplificada ainda tem denominador zero, então $f\to\pm\infty$: uma descontinuidade infinita, com assíntota vertical.

**8.** O logaritmo exige $x - 4 > 0$, ou seja, $x > 4$. O denominador exige $x \ne 6$. Juntando as duas condições, $f$ é contínua em $(4, 6)\cup(6, \infty)$.

**9.** A raiz exige $9 - x^2 \ge 0$, ou seja, $-3 \le x \le 3$. A função é contínua no intervalo fechado $[-3, 3]$, com continuidade lateral nas extremidades.

**10.** Seja $f(x) = x^3 + x - 1$. É um polinômio, então é contínua em $[0, 1]$. Como $f(0) = -1$ e $f(1) = 1$, o valor $0$ está entre eles. Pelo [Teorema do Valor Intermediário](/theorems/intermediate-value-theorem), existe $c$ em $(0, 1)$ com $f(c) = 0$.

**11.** Reescreva como $g(x) = \cos x - x = 0$. A função $g$ é contínua em toda parte. Verifique as extremidades:

$$g(0) = 1 > 0, \qquad g\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0 - \tfrac{\pi}{2} < 0$$

O sinal muda, então pelo TVI existe $c$ em $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ com $\cos c = c$.

**12.** Não. O TVI exige que $f$ seja contínua em todo o intervalo fechado, e $\frac{1}{x}$ não está definida em $0$. O teorema não diz nada aqui e, de fato, $\frac{1}{x}$ nunca é $0$.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Verificar só o limite.** No exercício 1 o limite existe, mas a função continua descontínua porque $f(1)$ não existe.
- **Usar a parte errada no ponto de quebra.** No exercício 2, $f(2)$ vem da parte com $x \ge 2$. Leia os sinais de desigualdade com atenção.
- **Verificar só um ponto de quebra.** O exercício 6 tem dois pontos de quebra, e cada um dá a sua própria equação.
- **Aplicar o TVI sem continuidade.** O exercício 12 mostra que uma troca de sinal sozinha não prova nada.

## Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a [lição de continuidade](/learn/calculus-1/limits/continuity) e a [lição do Teorema do Valor Intermediário](/learn/calculus-1/limits/intermediate-value-theorem). A continuidade também é a primeira hipótese do [Teorema do Valor Médio](/practice-problems/mean-value-theorem), que você pode praticar em seguida.

## Perguntas frequentes

### Como verificar se uma função é contínua em um ponto?

Use o teste das três condições. Garanta que $f(a)$ está definida, calcule os limites laterais e confirme que coincidem, e depois confirme que esse limite comum é igual a $f(a)$. Se alguma etapa falhar, $f$ é descontínua em $a$.

### Como encontrar k para que uma função definida por partes seja contínua?

Iguale o limite à esquerda ao limite à direita no ponto de quebra e resolva para $k$. No exercício 5, $2k + 3 = 4 - k$ dá $k = \frac{1}{3}$.

### Quais são os tipos de descontinuidade?

Uma descontinuidade removível (um buraco) ocorre quando o limite existe, mas é diferente de $f(a)$ ou $f(a)$ não existe. Uma descontinuidade de salto ocorre quando os limites laterais são diferentes. Uma descontinuidade infinita ocorre em uma assíntota vertical.