# Exercícios de derivação implícita resolvidos, com respostas > 12 exercícios de derivação implícita com respostas e resoluções completas: circunferências, produtos, trigonométricas, exponenciais, retas tangentes e y''. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-derivacao-implicita Atualizado: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx} $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 3 - **Pré-requisitos:** A [regra da cadeia](/practice-problems/chain-rule) e a [regra do produto](/rules/product-rule) - **Ideia principal:** Derive os dois lados em relação a x, coloque dy/dx em todo termo com y e depois isole dy/dx - **Pratique com novos números:** [Lição de derivação implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) ## Pontos principais - Sempre que derivar um termo que contém $y$, multiplique por $\frac{dy}{dx}$. É a regra da cadeia em ação. - Um termo como $xy$ exige a regra do produto: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$. - Depois de derivar, leve todos os termos com $\frac{dy}{dx}$ para um lado, coloque-o em evidência e divida. Estes **exercícios de derivação implícita** começam com circunferências e produtos simples, depois acrescentam funções trigonométricas e exponenciais, e terminam com retas tangentes, tangentes horizontais e uma derivada segunda. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas. O fato principal: como $y$ depende de $x$, a regra da cadeia dá $$\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx}$$ Assim, $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$ e $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\frac{dy}{dx}$. Abaixo, $y'$ significa $\frac{dy}{dx}$. Para revisar, veja a [regra da derivação implícita](/rules/implicit-differentiation) ou o [guia de derivação implícita](/blog/implicit-differentiation). ## Exercícios **Encontre dy/dx** 1. $x^2 + y^2 = 25$ 2. $xy = 8$ 3. $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ 4. $x^2 + xy + y^2 = 7$ 5. $x^3 + y^3 = 6xy$ **Trigonométricas e exponenciais** 6. $\tan y = x$ 7. $e^y = x^2 + y$ 8. $\cos(xy) = y$ **Retas tangentes e derivadas segundas** 9. Encontre a reta tangente a $x^2 + y^2 = 25$ em $(3, -4)$. 10. Encontre a reta tangente a $x^2 + xy + y^2 = 7$ em $(1, 2)$. 11. Encontre os pontos em que $x^2 + xy + y^2 = 7$ tem reta tangente horizontal. 12. Encontre $y''$ para $x^2 + y^2 = 25$, apenas em função de $y$. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $-\dfrac{x}{y}$ | | 2 | $-\dfrac{y}{x}$ | | 3 | $-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ | | 4 | $-\dfrac{2x + y}{x + 2y}$ | | 5 | $\dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$ | | 6 | $\dfrac{1}{1 + x^2}$ | | 7 | $\dfrac{2x}{e^y - 1}$ | | 8 | $-\dfrac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}$ | | 9 | $y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{25}{4}$ | | 10 | $y = -\dfrac{4}{5}x + \dfrac{14}{5}$ | | 11 | $\left(\dfrac{\sqrt{21}}{3}, -\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\right)$ e $\left(-\dfrac{\sqrt{21}}{3}, \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\right)$ | | 12 | $-\dfrac{25}{y^3}$ | ## Resolução passo a passo **1.** Derive os dois lados. O lado direito é uma constante: $$2x + 2y\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{x}{y}$$ **2.** O lado esquerdo é um produto, então use a regra do produto: $$1\cdot y + x\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{y}{x}$$ **3.** Escreva as raízes como potências de $\frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{2\sqrt{y}}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$$ **4.** O termo do meio exige a regra do produto: $$2x + (y + x\,y') + 2y\,y' = 0$$ Junte os termos com $y'$: $y'(x + 2y) = -(2x + y)$, então $$y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}$$ **5.** O lado direito $6xy$ exige a regra do produto: $$3x^2 + 3y^2\,y' = 6y + 6x\,y'$$ Leve os termos com $y'$ para a esquerda e o resto para a direita: $y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2$. Divida por $3$: $$y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$ **6.** Derive os dois lados: $\sec^2 y\cdot y' = 1$, então $y' = \frac{1}{\sec^2 y}$. Use $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$: $$y' = \frac{1}{1 + x^2}$$ É exatamente assim que se demonstra a [derivada de arctg x](/derivatives/arctan-x), já que $\tan y = x$ significa $y = \arctan x$. **7.** Derive: $e^y\,y' = 2x + y'$. Junte os termos com $y'$: $$y'(e^y - 1) = 2x \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{2x}{e^y - 1}$$ **8.** O lado esquerdo é uma regra da cadeia com um produto dentro: $$-\sin(xy)\cdot(y + x\,y') = y'$$ Distribua: $-y\sin(xy) - x\sin(xy)\,y' = y'$. Junte os termos com $y'$ à direita: $$-y\sin(xy) = y'\big(1 + x\sin(xy)\big) \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}$$ **9.** Pelo exercício 1, $y' = -\frac{x}{y}$. Em $(3, -4)$ a inclinação é $-\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$: $$y + 4 = \frac{3}{4}(x - 3) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3}{4}x - \frac{25}{4}$$ **10.** Primeiro confira o ponto: $1 + 2 + 4 = 7$. Pelo exercício 4, a inclinação em $(1, 2)$ é $$y' = -\frac{2(1) + 2}{1 + 2(2)} = -\frac{4}{5}$$ $$y - 2 = -\frac{4}{5}(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{4}{5}x + \frac{14}{5}$$ **11.** Uma tangente horizontal exige $y' = 0$, então o numerador da resposta do exercício 4 precisa ser zero: $2x + y = 0$, ou seja, $y = -2x$. Substitua na curva: $$x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 3x^2 = 7 \quad\Rightarrow\quad x = \pm\sqrt{\tfrac{7}{3}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{3}$$ Então $y = -2x$ dá os dois pontos da tabela de respostas. Nos dois pontos o denominador $x + 2y = -3x$ não é zero, então a inclinação é de fato $0$. **12.** Parta de $y' = -\frac{x}{y}$ e use a regra do quociente: $$y'' = -\frac{1\cdot y - x\,y'}{y^2}$$ Substitua $y' = -\frac{x}{y}$: $$y'' = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$$ Na curva, $x^2 + y^2 = 25$, então $y'' = -\frac{25}{y^3}$. ## Erros comuns nestes exercícios - **Esquecer o $y'$ nos termos com $y$.** $\frac{d}{dx}y^2$ é $2y\,y'$, não $2y$. Todo termo com $y$ precisa carregar esse fator. - **Tratar $xy$ como uma única variável.** No exercício 2, $\frac{d}{dx}(xy)$ exige a regra do produto, o que dá dois termos. - **Derivar a constante como se fosse algo.** No exercício 1, a derivada de $25$ é $0$. - **Não substituir $y'$ na derivada segunda.** No exercício 12, troque $y'$ por $-\frac{x}{y}$ antes de simplificar. ## Continue praticando Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas curvas e correção imediata, experimente a [lição de derivação implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation). A derivação implícita em relação ao tempo é a principal ferramenta nos [exercícios de taxas relacionadas](/practice-problems/related-rates), e é com ela que se demonstram as [derivadas das funções trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives). ## Perguntas frequentes ### Quando usar a derivação implícita? Use-a quando $y$ está misturado com $x$ e não é fácil isolar $y$, como em $x^3 + y^3 = 6xy$. Ela também funciona quando daria para isolar $y$, como em uma circunferência, e muitas vezes é mais rápida. ### Por que multiplicamos por dy/dx na derivação implícita? Porque $y$ é uma função de $x$. Derivar $y^2$ em relação a $x$ é um problema de regra da cadeia: a função de fora é um quadrado e a de dentro é $y$, então o resultado é $2y\cdot\frac{dy}{dx}$. ### Como encontrar uma reta tangente com derivação implícita? Encontre $\frac{dy}{dx}$ implicitamente, substitua as duas coordenadas do ponto para obter a inclinação e depois use a equação ponto-inclinação. Os exercícios 9 e 10 mostram isso.