# Derivada pela definição: exercícios resolvidos com respostas

> 12 exercícios de derivada pela definição (limite) com respostas e resolução passo a passo, de funções afins a 1/x, √x e retas tangentes.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-derivada-pela-definicao
Atualizado: 2026-11-06

$$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, unidade 2
- **Pré-requisitos:** Desenvolver produtos notáveis, somar frações e [calcular limites](/practice-problems/evaluating-limits)
- **Ideia principal:** Monte o quociente de Newton, simplifique até cancelar o h e depois faça h tender a 0
- **Pratique com novos números:** [Lição sobre a definição de derivada](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition)

## Pontos principais

- Escreva $f(x+h)$ com cuidado, trocando cada $x$ por $(x+h)$, inclusive dentro de raízes e frações.
- Depois de subtrair $f(x)$, todo termo que sobra no numerador deve ter um $h$. Se algum não tiver, houve um erro de álgebra.
- Use denominador comum para frações e o conjugado para raízes quadradas. Os dois servem para cancelar o $h$ do denominador.

Estes **exercícios de derivada pela definição** começam com uma reta e uma parábola, passam por cubos, frações e raízes quadradas e terminam com retas tangentes e limites que você pode reconhecer como derivadas. Tente resolver cada um antes de ler a resolução. As respostas vêm logo depois da lista.

A definição que você usa em todos eles:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Para relembrar de onde ela vem, leia o [guia sobre a definição de derivada](/blog/limit-definition-of-the-derivative).

## Exercícios

**Polinômios**

1. $f(x) = 5x - 3$
2. $f(x) = x^2$
3. $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$
4. $f(x) = x^3$

**Frações e raízes**

5. $f(x) = \dfrac{1}{x}$
6. $f(x) = \sqrt{x}$
7. $f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$
8. $f(x) = \sqrt{2x + 1}$

**Em um ponto e retas tangentes**

9. Use a definição para encontrar $f'(3)$ para $f(x) = x^2 + 2x$.
10. Encontre a reta tangente a $f(x) = x^2 - 3x$ em $x = 1$, usando a definição para a inclinação.

**Reconheça a derivada**

11. $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^4 - 16}{h}$
12. $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \sin\frac{\pi}{3}}{h}$

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $5$ |
| 2 | $2x$ |
| 3 | $6x - 4$ |
| 4 | $3x^2$ |
| 5 | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
| 6 | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| 7 | $-\dfrac{1}{(x+2)^2}$ |
| 8 | $\dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ |
| 9 | $8$ |
| 10 | $y = -x - 1$ |
| 11 | $32$ |
| 12 | $\dfrac{1}{2}$ |

## Resoluções passo a passo

**1.** $f(x+h) = 5(x+h) - 3 = 5x + 5h - 3$. Subtraia $f(x)$:

$$\frac{(5x + 5h - 3) - (5x - 3)}{h} = \frac{5h}{h} = 5$$

Uma reta tem a mesma inclinação em todos os pontos, então $f'(x) = 5$.

**2.** Desenvolva $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$:

$$\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h \;\to\; 2x$$

**3.** $f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 4x - 4h + 1$. Depois de subtrair $f(x)$, só sobram os termos com $h$:

$$\frac{6xh + 3h^2 - 4h}{h} = 6x + 3h - 4 \;\to\; 6x - 4$$

**4.** Desenvolva $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$:

$$\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \;\to\; 3x^2$$

**5.** Junte as frações sobre $x(x+h)$:

$$\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - (x+h)}{h\,x(x+h)} = \frac{-h}{h\,x(x+h)} = -\frac{1}{x(x+h)} \;\to\; -\frac{1}{x^2}$$

**6.** Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado $\sqrt{x+h} + \sqrt{x}$:

$$\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$$

Quando $h\to 0$, isso vira $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

**7.** Mesma ideia do exercício 5, com denominador comum $(x + h + 2)(x + 2)$:

$$\frac{(x + 2) - (x + h + 2)}{h\,(x + h + 2)(x + 2)} = -\frac{1}{(x + h + 2)(x + 2)} \;\to\; -\frac{1}{(x + 2)^2}$$

**8.** Multiplique pelo conjugado. O numerador fica $(2x + 2h + 1) - (2x + 1) = 2h$:

$$\frac{2h}{h\left(\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1}\right)} \;\to\; \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$$

**9.** Use $f'(3) = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h}$. Aqui $f(3) = 15$ e

$$f(3 + h) = 9 + 6h + h^2 + 6 + 2h = 15 + 8h + h^2$$

$$\frac{8h + h^2}{h} = 8 + h \;\to\; 8$$

**10.** Primeiro a inclinação em $x = 1$. $f(1) = -2$ e $f(1 + h) = (1 + h)^2 - 3(1 + h) = -2 - h + h^2$:

$$f'(1) = \lim_{h\to 0}\frac{-h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}(-1 + h) = -1$$

A reta tangente passa por $(1, -2)$ com inclinação $-1$:

$$y + 2 = -(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = -x - 1$$

**11.** Isso corresponde a $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ com $f(x) = x^4$ e $a = 2$, já que $2^4 = 16$. Então o limite é $f'(2)$, e pela [regra da potência](/rules/power-rule), $f'(x) = 4x^3$ dá $f'(2) = 32$.

**12.** Isso corresponde a $f(x) = \sin x$ em $a = \frac{\pi}{3}$. A derivada de $\sin x$ é $\cos x$, então o limite é $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Escrever $f(x+h)$ como $f(x) + h$.** No exercício 2, $(x+h)^2$ é $x^2 + 2xh + h^2$, e não $x^2 + h$.
- **Perder um sinal na subtração.** Coloque $f(x)$ entre parênteses antes de subtrair, principalmente no exercício 3, em que ela tem três termos.
- **Fazer $h\to 0$ cedo demais.** Substituir $h = 0$ antes de cancelar dá $\frac{0}{0}$. Cancele o $h$ primeiro.
- **Desenvolver o conjugado no denominador.** Nos exercícios 6 e 8, deixe o denominador fatorado. Só o numerador precisa ser simplificado.

## Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novas funções e correção na hora, faça a [lição sobre a definição de derivada](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) e a [lição sobre retas tangentes](/learn/calculus-1/the-derivative/tangent-lines). Quando a definição estiver firme, o atalho é a regra da potência: pratique com os [exercícios de regra da potência](/practice-problems/power-rule).

## Perguntas frequentes

### O que é a definição de derivada por limite?

É $f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, o limite das inclinações das retas secantes quando o segundo ponto desliza até o primeiro. Quando esse limite existe, ele é a inclinação da reta tangente em $x$.

### Por que aparece 0/0 na definição de derivada?

Porque o numerador $f(x+h) - f(x)$ e o denominador $h$ tendem a $0$. Isso sempre acontece com uma função contínua, então é preciso simplificar e cancelar o fator $h$ antes de fazer $h\to 0$.

### Como reconhecer uma derivada escrita como limite?

Compare com $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. No exercício 11, $\frac{(2+h)^4 - 16}{h}$ segue esse padrão com $f(x) = x^4$ e $a = 2$, então o limite é $f'(2) = 32$.