# Exercícios de derivadas exponenciais e logarítmicas resolvidos

> 12 exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas, com respostas e resoluções completas: e^x, a^x, ln x, propriedades do log e x^x.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-derivadas-exponenciais-e-logaritmicas
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidades 2 e 3
- **Pré-requisitos:** Propriedades dos logaritmos e a [regra da cadeia](/practice-problems/chain-rule)
- **Ideia principal:** A derivada de e^u é e^u vezes u', e a derivada de ln u é u' sobre u
- **Pratique com novos números:** [Lição de derivadas exponenciais e logarítmicas](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives)

## Pontos principais

- $e^x$ é a sua própria derivada, e qualquer outra base ganha um fator igual ao seu logaritmo natural: $(a^x)' = a^x\ln a$.
- Use as propriedades do logaritmo para separar o log antes de derivar. Elas transformam quocientes e raízes em somas simples.
- Quando a variável está na base e no expoente, como em $x^x$, aplique $\ln$ dos dois lados primeiro.

Estes **exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas** começam com as regras básicas e depois usam a regra da cadeia, as propriedades do logaritmo e a derivação logarítmica. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

As regras de que você precisa:

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x\ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x\ln a}$ |

Com uma função de dentro $u$: $(e^u)' = e^u u'$ e $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. Veja a [derivada de e^x](/derivatives/e-to-the-x), a [derivada de ln x](/derivatives/ln-x) e a [derivada de 2^x](/derivatives/2-to-the-x) para as demonstrações.

## Exercícios

**Regras básicas**

1. $y = 5e^x - \ln x$
2. $y = 2^x$
3. $y = \log_{10} x$

**Regra da cadeia**

4. $y = e^{3x}$
5. $y = \ln(x^2 + 1)$
6. $y = 5^{x^2}$

**Use primeiro as propriedades do log**

7. $y = \ln(5x)$
8. $y = \ln\sqrt{x^2 + 4}$
9. $y = \ln\!\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)$

**Com outras regras**

10. $y = x^2\ln x$
11. $y = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$
12. $y = x^x$ para $x > 0$

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $5e^x - \dfrac{1}{x}$ |
| 2 | $2^x\ln 2$ |
| 3 | $\dfrac{1}{x\ln 10}$ |
| 4 | $3e^{3x}$ |
| 5 | $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ |
| 6 | $2x\ln 5\cdot 5^{x^2}$ |
| 7 | $\dfrac{1}{x}$ |
| 8 | $\dfrac{x}{x^2 + 4}$ |
| 9 | $-\dfrac{2}{x^2 - 1}$ |
| 10 | $2x\ln x + x$ |
| 11 | $\dfrac{e^x}{(1 + e^x)^2}$ |
| 12 | $x^x(\ln x + 1)$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Derive cada termo:

$$y' = 5e^x - \frac{1}{x}$$

**2.** Use $(a^x)' = a^x\ln a$ com $a = 2$:

$$y' = 2^x\ln 2$$

**3.** Use $(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$ com $a = 10$, ou escreva antes $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$:

$$y' = \frac{1}{x\ln 10}$$

**4.** A função de dentro é $3x$, com derivada $3$:

$$y' = e^{3x}\cdot 3 = 3e^{3x}$$

**5.** Use $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ com $u = x^2 + 1$:

$$y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

**6.** Use $(a^u)' = a^u\ln a\cdot u'$ com $a = 5$ e $u = x^2$:

$$y' = 5^{x^2}\ln 5\cdot 2x = 2x\ln 5\cdot 5^{x^2}$$

**7.** Separe o log: $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$. O primeiro termo é constante:

$$y' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

A regra da cadeia dá o mesmo resultado: $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.

**8.** Uma raiz quadrada é uma potência de $\frac{1}{2}$, e o logaritmo leva os expoentes para a frente:

$$y = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4) \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 4} = \frac{x}{x^2 + 4}$$

**9.** Separe o quociente: $y = \ln(x + 1) - \ln(x - 1)$. Então

$$y' = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = -\frac{2}{x^2 - 1}$$

Isso é muito mais curto do que usar a regra do quociente dentro da regra da cadeia.

**10.** Use a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$y' = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x$$

**11.** Use a [regra do quociente](/rules/quotient-rule). Tanto o numerador quanto o denominador têm derivada $e^x$:

$$y' = \frac{e^x(1 + e^x) - e^x\cdot e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x + e^{2x} - e^{2x}}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}$$

**12.** Nem a regra da potência nem a regra da exponencial servem, porque $x$ aparece nos dois lugares. Use a [derivação logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation): aplique $\ln$ dos dois lados.

$$\ln y = x\ln x$$

Derive os dois lados, usando a regra do produto à direita:

$$\frac{y'}{y} = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1 \quad\Rightarrow\quad y' = x^x(\ln x + 1)$$

## Erros comuns nestes exercícios

- **Usar a regra da potência em $e^x$ ou $2^x$.** $(2^x)'$ não é $x\cdot 2^{x-1}$. A variável está no expoente, então você precisa de $2^x\ln 2$.
- **Escrever $\ln(x^2 + 1)' = \frac{1}{x^2 + 1}$.** Isso esquece a derivada de dentro, $2x$, no numerador.
- **Separar o log do jeito errado.** $\ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1$. As propriedades do log separam produtos e quocientes, não somas.
- **Tratar $x^x$ como $x\cdot x^{x-1}$.** O exercício 12 exige derivação logarítmica. Veja a [derivada de x^x](/derivatives/x-to-the-x) para saber mais.

## Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a [lição de derivadas exponenciais e logarítmicas](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives) e depois a [lição de regra da cadeia com exponenciais](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-exponentials). Para mais exemplos resolvidos, leia o [guia de derivadas exponenciais e logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de e elevado a x?

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Com algo dentro, use a regra da cadeia: $\frac{d}{dx}e^{u} = e^{u}u'$, então $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$.

### Qual é a derivada de ln x?

$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ para $x > 0$. Com uma função de dentro, $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$. Repare que $\ln(5x)$ também tem derivada $\frac{1}{x}$, porque $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$.

### Qual é a derivada de a elevado a x?

$\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$ para qualquer base positiva $a$. Por exemplo, $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$. Quando $a = e$, $\ln e = 1$ e você volta a $e^x$.