# Exercícios de derivadas parciais resolvidos, com respostas > 12 exercícios de derivadas parciais com respostas: derivadas de primeira e segunda ordem, gradiente, derivada direcional, plano tangente e pontos críticos. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-derivadas-parciais Atualizado: 2026-11-06 $$ f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \nabla f = \langle f_x, f_y\rangle, \quad D_{\mathbf{u}}f = \nabla f\cdot\mathbf{u} $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resolução completa - **Nível:** Cálculo 3 - **Você precisa saber:** Todas as regras de derivação de uma variável, principalmente a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) - **Ideia principal:** Derive em relação a uma variável e trate todas as outras como constantes - **Pratique com novos números:** [Lição de derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) ## Pontos principais - Para $f_x$, trate $y$ como um número. Para $f_y$, trate $x$ como um número. Depois use as regras de sempre. - As derivadas mistas $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são iguais para funções bem comportadas, pelo [teorema de Clairaut (Schwarz)](/theorems/clairauts-theorem). Use isso para conferir. - A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com um vetor unitário. Normalize a direção primeiro. Estes **exercícios de derivadas parciais** começam com derivadas parciais de primeira ordem e avançam para as de segunda ordem, gradiente, derivada direcional, plano tangente e pontos críticos. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas. A única ideia por trás de todos os exercícios: $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}: \text{ derive em } x, \text{ trate } y \text{ como constante}$$ Para as ideias com figuras, leia o [guia de derivadas parciais](/blog/partial-derivatives) e o [guia do gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives). ## Exercícios **Derivadas parciais de primeira ordem** 1. $f(x, y) = x^3y^2 + 4xy$. Encontre $f_x$ e $f_y$. 2. $f(x, y) = e^{xy}$. Encontre $f_x$ e $f_y$. 3. $f(x, y) = \sin(x^2y)$. Encontre $f_x$ e $f_y$. 4. $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$. Encontre $f_x$. 5. $f(x, y) = \dfrac{x}{y}$. Encontre $f_x$ e $f_y$. 6. $f(x, y, z) = xyz + z^2$. Encontre $f_z$. **Derivadas de segunda ordem e valores** 7. $f(x, y) = x^2y^3$. Encontre $f_{xx}$, $f_{yy}$ e $f_{xy}$. 8. $f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2$. Encontre $f_x(1, 2)$ e $f_y(1, 2)$. **Gradiente e planos** 9. Encontre $\nabla f(2, 1)$ para $f(x, y) = x^2y$. 10. Encontre a derivada direcional de $f(x, y) = x^2y$ em $(2, 1)$ na direção de $\langle 3, 4\rangle$. 11. Encontre o plano tangente a $z = x^2 + y^2$ em $(1, 2, 5)$. 12. Encontre e classifique o ponto crítico de $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y$. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $f_x = 3x^2y^2 + 4y$, $f_y = 2x^3y + 4x$ | | 2 | $f_x = ye^{xy}$, $f_y = xe^{xy}$ | | 3 | $f_x = 2xy\cos(x^2y)$, $f_y = x^2\cos(x^2y)$ | | 4 | $f_x = \dfrac{2x}{x^2 + y^2}$ | | 5 | $f_x = \dfrac{1}{y}$, $f_y = -\dfrac{x}{y^2}$ | | 6 | $f_z = xy + 2z$ | | 7 | $f_{xx} = 2y^3$, $f_{yy} = 6x^2y$, $f_{xy} = 6xy^2$ | | 8 | $f_x(1, 2) = 8$, $f_y(1, 2) = -1$ | | 9 | $\langle 4, 4\rangle$ | | 10 | $\frac{28}{5}$ | | 11 | $z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2)$, ou $z = 2x + 4y - 5$ | | 12 | $(2, -3)$, um mínimo local com valor $-13$ | ## Resolução passo a passo **1.** Para $f_x$, $y^2$ e $4y$ são constantes: $f_x = 3x^2y^2 + 4y$. Para $f_y$, $x^3$ e $4x$ são constantes: $f_y = 2x^3y + 4x$. **2.** Regra da cadeia com função interna $xy$. Sua derivada em relação a $x$ é $y$ e em relação a $y$ é $x$: $$f_x = ye^{xy}, \qquad f_y = xe^{xy}$$ **3.** Regra da cadeia com função interna $x^2y$: $$f_x = \cos(x^2y)\cdot 2xy, \qquad f_y = \cos(x^2y)\cdot x^2$$ **4.** A derivada de $\ln u$ é $\frac{u'}{u}$, e a derivada de $x^2 + y^2$ em relação a $x$ é $2x$: $$f_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$ **5.** Em relação a $x$, $\frac{x}{y}$ é $x$ vezes a constante $\frac{1}{y}$. Em relação a $y$, é $x\cdot y^{-1}$: $$f_x = \frac{1}{y}, \qquad f_y = -xy^{-2} = -\frac{x}{y^2}$$ **6.** Trate $x$ e $y$ como constantes: $f_z = xy + 2z$. **7.** Primeiro, $f_x = 2xy^3$ e $f_y = 3x^2y^2$. Depois: $$f_{xx} = 2y^3, \qquad f_{yy} = 6x^2y, \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy^3) = 6xy^2$$ Conferindo: $f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2) = 6xy^2$. Elas coincidem. **8.** $f_x = 2x + 3y$, então $f_x(1, 2) = 2 + 6 = 8$. $f_y = 3x - 2y$, então $f_y(1, 2) = 3 - 4 = -1$. **9.** $f_x = 2xy$ e $f_y = x^2$. Em $(2, 1)$: $\nabla f = \langle 4, 4\rangle$. **10.** O comprimento de $\langle 3, 4\rangle$ é $5$, então o vetor unitário é $\left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$: $$D_{\mathbf{u}}f = \langle 4, 4\rangle\cdot\left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle = \frac{12}{5} + \frac{16}{5} = \frac{28}{5}$$ **11.** $f_x = 2x = 2$ e $f_y = 2y = 4$ em $(1, 2)$. O plano tangente é $z = f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b)$: $$z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) = 2x + 4y - 5$$ **12.** Faça $f_x = 2x - 4 = 0$ e $f_y = 2y + 6 = 0$: $(2, -3)$. O teste da segunda derivada dá $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2\cdot 2 - 0 = 4 > 0$ com $f_{xx} > 0$, então é um mínimo local. O valor é $4 + 9 - 8 - 18 = -13$. ## Erros comuns nestes exercícios - **Derivar a variável que é constante.** No exercício 1, em $f_x$ a derivada de $4xy$ é $4y$, e não $4y + 4x$. - **Esquecer a regra da cadeia.** No exercício 3, o fator $2xy$ vem da função interna $x^2y$. - **Usar uma direção que não é vetor unitário.** No exercício 10, normalize $\langle 3, 4\rangle$ primeiro. - **Confundir a ordem em $f_{xy}$.** $f_{xy}$ significa derivar primeiro em $x$ e depois em $y$. Para funções suaves as duas ordens dão o mesmo resultado, o que serve de conferência. ## Continue praticando Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a [lição de derivadas parciais](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives), a [lição de derivadas de segunda ordem](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives), a [lição de plano tangente](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) e a [lição de gradiente](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives). Para otimização com restrição, siga para os [exercícios de multiplicadores de Lagrange](/practice-problems/lagrange-multipliers). ## Perguntas frequentes ### Como calcular uma derivada parcial? Escolha a variável em relação à qual você vai derivar e trate todas as outras como constantes. Para $f = x^3y^2$, $f_x = 3x^2y^2$, porque $y^2$ é só uma constante multiplicativa. ### O que o gradiente indica? O gradiente $\nabla f$ aponta na direção de maior crescimento, e seu comprimento é essa taxa máxima. Ele também é perpendicular às curvas de nível. ### Por que o vetor direção precisa ser unitário? A derivada direcional mede a variação por unidade de distância. Um vetor mais longo multiplicaria a resposta pelo seu comprimento. No exercício 10, usar $\langle 3, 4\rangle$ em vez de $\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\rangle$ dá uma resposta cinco vezes maior.