# Exercícios de derivadas trigonométricas inversas, com respostas

> 12 exercícios de derivadas de funções trigonométricas inversas com respostas e resoluções: arcsen, arccos, arctg e arcsec com as regras da cadeia e do produto.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-derivadas-trigonometricas-inversas
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 3
- **Pré-requisitos:** A [regra da cadeia](/practice-problems/chain-rule) e as quatro derivadas trigonométricas inversas
- **Ideia principal:** Use a fórmula com u no lugar de x e depois multiplique por u'
- **Pratique com novos números:** [Lição de derivadas trigonométricas inversas](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives)

## Pontos principais

- As derivadas de arcsen e arccos diferem apenas no sinal. O mesmo vale para arctg e arccotg.
- Com uma função de dentro, troque $x$ por $u$ em toda a fórmula, inclusive dentro da raiz, e depois multiplique por $u'$.
- Se uma derivada dá $0$, a função é constante. O exercício 11 mostra que $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ para $x > 0$.

Estes **exercícios de derivadas de funções trigonométricas inversas** começam com as fórmulas básicas, depois usam a regra da cadeia, a regra do produto e um logaritmo, e terminam com dois exercícios que se simplificam de um jeito surpreendente e uma reta tangente. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

As fórmulas de que você precisa:

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\arccos x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1 + x^2}$ |
| $\operatorname{arcsec} x$ | $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ |

Cada fórmula vem da [derivação implícita](/practice-problems/implicit-differentiation). Veja a [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x), a [derivada de arctg x](/derivatives/arctan-x) e a [derivada de arcsec x](/derivatives/arcsec-x) para as demonstrações completas.

## Exercícios

**Fórmulas básicas**

1. $y = 3\arctan x - 2\arcsin x$
2. $y = \arctan(3x)$
3. $y = \arccos(2x)$

**Regra da cadeia**

4. $y = \arcsin(x^2)$
5. $y = \arctan\!\left(\sqrt{x}\right)$
6. $y = \arctan(e^x)$
7. $y = \operatorname{arcsec}(3x)$ para $x > \frac{1}{3}$

**Com outras regras**

8. $y = x\arctan x$
9. $y = \ln(\arctan x)$ para $x > 0$
10. $y = \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}$

**Simplifique e aplique**

11. $y = \arctan x + \arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ para $x > 0$
12. Encontre a reta tangente a $y = \arctan x$ em $x = 1$.

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{3}{1 + x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| 2 | $\dfrac{3}{1 + 9x^2}$ |
| 3 | $-\dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$ |
| 4 | $\dfrac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| 5 | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}\,(1 + x)}$ |
| 6 | $\dfrac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |
| 7 | $\dfrac{1}{x\sqrt{9x^2 - 1}}$ |
| 8 | $\arctan x + \dfrac{x}{1 + x^2}$ |
| 9 | $\dfrac{1}{(1 + x^2)\arctan x}$ |
| 10 | $\dfrac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}$ |
| 11 | $0$ |
| 12 | $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{4}$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Use a tabela em cada termo:

$$y' = \frac{3}{1 + x^2} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**2.** Com $u = 3x$, $u' = 3$ e $u^2 = 9x^2$:

$$y' = \frac{3}{1 + (3x)^2} = \frac{3}{1 + 9x^2}$$

**3.** Com $u = 2x$, $u' = 2$ e $u^2 = 4x^2$. Mantenha o sinal de menos do arccos:

$$y' = -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$

**4.** Com $u = x^2$, $u' = 2x$ e $u^2 = x^4$:

$$y' = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$$

**5.** Com $u = \sqrt{x}$, $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ e $u^2 = x$:

$$y' = \frac{1}{1 + x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(1 + x)}$$

**6.** Com $u = e^x$, $u' = e^x$ e $u^2 = e^{2x}$:

$$y' = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$$

**7.** Com $u = 3x > 1$, $|u| = 3x$ e $u' = 3$:

$$y' = \frac{3}{3x\sqrt{9x^2 - 1}} = \frac{1}{x\sqrt{9x^2 - 1}}$$

**8.** Use a [regra do produto](/rules/product-rule):

$$y' = 1\cdot\arctan x + x\cdot\frac{1}{1 + x^2} = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$$

**9.** Use $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ com $u = \arctan x$:

$$y' = \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{\arctan x} = \frac{1}{(1 + x^2)\arctan x}$$

**10.** A derivada de $\sqrt{1 - x^2}$ é $\frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$. Some as duas partes:

$$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

Como $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$, isso se simplifica para $\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ quando $-1 < x < 1$.

**11.** No segundo termo, $u = \frac{1}{x}$ e $u' = -\frac{1}{x^2}$:

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = -\frac{1}{x^2 + 1}$$

Então $y' = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0$. A função é constante para $x > 0$. Em $x = 1$ ela vale $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, então $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ para todo $x > 0$.

**12.** O ponto é $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$. A inclinação é $\frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$:

$$y - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$$

## Erros comuns nestes exercícios

- **Elevar ao quadrado só o $x$, e não a função de dentro inteira.** No exercício 2 o denominador é $1 + (3x)^2 = 1 + 9x^2$, não $1 + 3x^2$.
- **Esquecer o $u'$ no numerador.** $\frac{d}{dx}\arcsin(x^2)$ precisa do $2x$ no numerador.
- **Confundir $\arcsin x$ com $\frac{1}{\sin x}$.** $\arcsin x$ é a função inversa, e $\frac{1}{\sin x}$ é $\csc x$. As derivadas são completamente diferentes.
- **Esquecer o sinal de menos do arccos.** O exercício 3 tem resposta negativa porque $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

## Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a [lição de derivadas trigonométricas inversas](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives) e a [lição de derivadas de funções inversas](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-function-derivatives). Para revisar antes as funções trigonométricas comuns, use os [exercícios de derivadas trigonométricas](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Perguntas frequentes

### Quais são as derivadas das funções trigonométricas inversas?

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$, $(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$, $(\operatorname{arcsec} x)' = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ e $(\operatorname{arccsc} x)' = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.

### Como encontrar a derivada de arcsen(u)?

Use a regra da cadeia: $\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$. Para $\arcsin(x^2)$, $u = x^2$ e $u' = 2x$, então a derivada é $\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

### Como se deduz a derivada de arcsen x?

Escreva $y = \arcsin x$ como $\sin y = x$ e derive implicitamente: $\cos y\,y' = 1$. Como $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ na imagem do arcsen, $y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.