# Exercícios de derivadas trigonométricas resolvidos, com respostas

> 12 exercícios de derivadas de funções trigonométricas com respostas e resoluções: sen, cos, tg, sec, cossec, cotg, com regras do produto, quociente e cadeia.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-derivadas-trigonometricas
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidades 2 e 3
- **Pré-requisitos:** As seis derivadas trigonométricas e as [regras do produto e do quociente](/practice-problems/product-and-quotient-rules)
- **Ideia principal:** Aprenda as seis derivadas básicas e depois combine-as com as outras regras
- **Pratique com novos números:** [Lição de derivadas trigonométricas](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives)

## Pontos principais

- As derivadas das "co" funções, $\cos x$, $\csc x$ e $\cot x$, começam todas com sinal de menos.
- Pares para memorizar: $\tan x \to \sec^2 x$, $\sec x \to \sec x\tan x$, $\cot x \to -\csc^2 x$, $\csc x \to -\csc x\cot x$.
- Depois de uma regra do quociente, procure $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Muitas vezes ela simplifica a resposta, como no exercício 6.

Estes **exercícios de derivadas de funções trigonométricas** começam com as seis derivadas básicas, acrescentam as regras do produto e do quociente, depois a regra da cadeia, e terminam com uma derivada segunda e uma reta tangente. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

As seis derivadas de que você precisa:

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |

Cada uma tem a sua própria página com demonstração, por exemplo a [derivada de tg x](/derivatives/tan-x) e a [derivada de sec x](/derivatives/sec-x). Para uma visão geral, leia o [guia de derivadas trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Exercícios

**Derivadas básicas**

1. $y = 3\sin x - 2\cos x$
2. $y = \tan x + \sec x$
3. $y = 4\csc x - \cot x$

**Regras do produto e do quociente**

4. $y = x^2\cos x$
5. $y = \sin x\cos x$
6. $y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}$

**Regra da cadeia**

7. $y = \sin(5x)$
8. $y = \cos(x^2)$
9. $y = \tan^3 x$
10. $y = \sec(3x)$

**Derivadas segundas e retas tangentes**

11. Encontre $y''$ para $y = \sin(2x)$.
12. Encontre a reta tangente a $y = \tan x$ em $x = \frac{\pi}{4}$.

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $3\cos x + 2\sin x$ |
| 2 | $\sec^2 x + \sec x\tan x$ |
| 3 | $-4\csc x\cot x + \csc^2 x$ |
| 4 | $2x\cos x - x^2\sin x$ |
| 5 | $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$ |
| 6 | $\dfrac{1}{1 + \cos x}$ |
| 7 | $5\cos(5x)$ |
| 8 | $-2x\sin(x^2)$ |
| 9 | $3\tan^2 x\sec^2 x$ |
| 10 | $3\sec(3x)\tan(3x)$ |
| 11 | $-4\sin(2x)$ |
| 12 | $y = 2x + 1 - \dfrac{\pi}{2}$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Derive cada termo. O sinal de menos de $(\cos x)' = -\sin x$ encontra o $-2$:

$$y' = 3\cos x - 2(-\sin x) = 3\cos x + 2\sin x$$

**2.** Use as duas derivadas direto da tabela:

$$y' = \sec^2 x + \sec x\tan x$$

**3.** Tanto $\csc x$ quanto $\cot x$ têm derivadas negativas:

$$y' = 4(-\csc x\cot x) - (-\csc^2 x) = -4\csc x\cot x + \csc^2 x$$

**4.** Use a [regra do produto](/rules/product-rule) com $f = x^2$ e $g = \cos x$:

$$y' = 2x\cos x + x^2(-\sin x) = 2x\cos x - x^2\sin x$$

**5.** Regra do produto de novo:

$$y' = \cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$

Pela identidade do arco duplo, isso é igual a $\cos(2x)$. Dá para confirmar de outro jeito: $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, cuja derivada é $\cos(2x)$.

**6.** Use a [regra do quociente](/rules/quotient-rule). A derivada do denominador é $-\sin x$:

$$y' = \frac{\cos x(1 + \cos x) - \sin x(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}$$

Como $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, o numerador é $1 + \cos x$, e um fator se cancela:

$$y' = \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$$

**7.** A função de dentro é $5x$, com derivada $5$:

$$y' = \cos(5x)\cdot 5 = 5\cos(5x)$$

**8.** A função de dentro é $x^2$, com derivada $2x$:

$$y' = -\sin(x^2)\cdot 2x = -2x\sin(x^2)$$

**9.** Escreva $y = (\tan x)^3$. A função de fora é um cubo e a de dentro é $\tan x$:

$$y' = 3(\tan x)^2\cdot\sec^2 x = 3\tan^2 x\sec^2 x$$

**10.** A função de fora é $\sec u$, com derivada $\sec u\tan u$, e $u = 3x$:

$$y' = \sec(3x)\tan(3x)\cdot 3 = 3\sec(3x)\tan(3x)$$

**11.** Derive duas vezes, usando a regra da cadeia em cada uma:

$$y' = 2\cos(2x), \qquad y'' = 2\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -4\sin(2x)$$

**12.** O ponto é $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. A inclinação é $\sec^2\frac{\pi}{4} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$:

$$y - 1 = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \quad\Rightarrow\quad y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$$

## Erros comuns nestes exercícios

- **Esquecer o sinal de menos.** As derivadas de $\cos x$, $\cot x$ e $\csc x$ são todas negativas. O exercício 3 tem duas delas.
- **Escrever $\sec^2 x$ como $\sec(x^2)$.** $\sec^2 x$ significa $(\sec x)^2$. São funções muito diferentes.
- **Esquecer a derivada da função de dentro.** $\sin(5x)$ tem derivada $5\cos(5x)$, não $\cos(5x)$.
- **Usar graus.** No exercício 12 o ângulo é $\frac{\pi}{4}$ radianos. Usar $45$ na reta tangente estaria errado.

## Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a [lição de derivadas trigonométricas](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives) e depois a [lição de regra da cadeia com funções trigonométricas](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-trig). Para as funções inversas, como $\arcsin x$ e $\arctan x$, passe para os [exercícios de derivadas de funções trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Perguntas frequentes

### Quais são as derivadas das seis funções trigonométricas?

$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$, $(\cot x)' = -\csc^2 x$, $(\sec x)' = \sec x\tan x$ e $(\csc x)' = -\csc x\cot x$. Todas elas usam radianos.

### Por que a derivada de sen x é cos x?

Pela definição por limite, $\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$ se separa, com a fórmula do seno da soma, em $\sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$. Quando $h\to 0$, o primeiro limite é $0$ e o segundo é $1$, o que deixa $\cos x$.

### As derivadas trigonométricas funcionam em graus?

Não nesta forma. A regra $(\sin x)' = \cos x$ exige $x$ em radianos. Em graus aparece um fator extra de $\frac{\pi}{180}$, e é por isso que o cálculo sempre usa radianos.