# Exercícios de equações diferenciais resolvidos, com respostas > 12 exercícios de equações diferenciais com respostas: equações separáveis, crescimento e decaimento exponencial, resfriamento, logística e método de Euler. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-equacoes-diferenciais Atualizado: 2026-11-06 $$ \frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \;\Rightarrow\; \int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 2 e AP Calculus, Unidade 7 - **Pré-requisitos:** [Antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives), logaritmos e exponenciais - **Ideia principal:** Separe as variáveis, integre os dois lados e use a condição inicial para achar $C$ - **Pratique com novos números:** [Lição de equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) ## Pontos principais - Separe: leve todo $y$ para o lado do $dy$ e todo $x$ para o lado do $dx$, depois integre os dois lados. - Some a constante logo depois de integrar, antes de isolar $y$. - A equação $\frac{dy}{dt} = ky$ sempre dá $y = y_0e^{kt}$. Aprenda a reconhecê-la em problemas contextualizados. Estes **exercícios de equações diferenciais** cobrem equações separáveis, crescimento e decaimento exponencial, a lei de resfriamento de Newton, o crescimento logístico, soluções de equilíbrio e o método de Euler. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas. O método para uma equação separável: $$\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \quad\Rightarrow\quad \int\frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx$$ Separe, integre os dois lados, some $C$ e depois isole $y$. ## Exercícios **Equações separáveis** 1. $\dfrac{dy}{dx} = 6x^2$, $y(0) = 2$ 2. $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$, $y(0) = 5$ 3. $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$, $y(0) = 3$ 4. $\dfrac{dy}{dx} = y^2$, $y(0) = 1$ 5. $\dfrac{dy}{dx} = y\cos x$, $y(0) = 2$ **Crescimento e decaimento** 6. $\dfrac{dy}{dt} = -0.2y$, $y(0) = 100$. Encontre $y(5)$. 7. Uma amostra de 80 g tem meia-vida de 10 anos. Quanto resta depois de 25 anos? 8. Uma cultura de bactérias começa com 500 e dobra a cada 3 horas. Quando ela chega a 8000? 9. Um café a $90^\circ$C esfria em uma sala a $20^\circ$C segundo $\frac{dT}{dt} = -k(T - 20)$. Depois de 10 minutos ele está a $60^\circ$C. Quando chegará a $30^\circ$C? **Análise qualitativa e numérica** 10. Para $\dfrac{dP}{dt} = 0.4P\left(1 - \dfrac{P}{1000}\right)$, encontre a capacidade de suporte e a população em que o crescimento é mais rápido. 11. Encontre as soluções de equilíbrio de $\dfrac{dy}{dx} = y(y - 3)$ e diga se cada uma é estável. 12. Use o método de Euler com $h = 0.1$ e dois passos para estimar $y(0.2)$ em $\dfrac{dy}{dx} = x + y$, $y(0) = 1$. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $y = 2x^3 + 2$ | | 2 | $y = 5e^{x^2}$ | | 3 | $y = \sqrt{x^2 + 9}$ | | 4 | $y = \dfrac{1}{1 - x}$ | | 5 | $y = 2e^{\sin x}$ | | 6 | $y(5) = 100e^{-1} \approx 36.8$ | | 7 | $80\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 14.1$ g | | 8 | $12$ horas | | 9 | $t = \dfrac{10\ln 7}{\ln(7/4)} \approx 34.8$ minutos | | 10 | Capacidade de suporte $1000$; mais rápido em $P = 500$ | | 11 | $y = 0$ estável, $y = 3$ instável | | 12 | $y(0.2) \approx 1.22$ | ## Resolução passo a passo **1.** Não é preciso separar. Integre: $y = 2x^3 + C$. Como $y(0) = 2$, $C = 2$. **2.** Separe: $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$. Integre: $\ln|y| = x^2 + C$. Aplique a exponencial: $y = Ae^{x^2}$. Como $y(0) = 5$, $A = 5$: $$y = 5e^{x^2}$$ **3.** Separe: $y\,dy = x\,dx$. Integre: $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$, então $y^2 = x^2 + C'$. Com $y(0) = 3$, $C' = 9$. Tome a raiz positiva, porque $y(0) > 0$: $$y = \sqrt{x^2 + 9}$$ **4.** Separe: $y^{-2}\,dy = dx$. Integre: $-\frac{1}{y} = x + C$. Com $y(0) = 1$, $C = -1$, então $-\frac{1}{y} = x - 1$: $$y = \frac{1}{1 - x}$$ A solução explode em $x = 1$, embora a equação pareça inofensiva. **5.** Separe: $\frac{dy}{y} = \cos x\,dx$. Integre: $\ln|y| = \sin x + C$, então $y = Ae^{\sin x}$, e $y(0) = 2$ dá $A = 2$. **6.** Esta é $\frac{dy}{dt} = ky$ com $k = -0.2$, então $y = 100e^{-0.2t}$: $$y(5) = 100e^{-1} \approx 36.8$$ **7.** 25 anos correspondem a $2.5$ meias-vidas: $$80\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 80(0.1768) \approx 14.1 \text{ g}$$ **8.** $8000 = 500\cdot 16 = 500\cdot 2^4$. São 4 duplicações de 3 horas cada, ou seja, 12 horas. **9.** Seja $D = T - 20$. Então $\frac{dD}{dt} = -kD$, logo $T = 20 + 70e^{-kt}$. Em $t = 10$: $40 = 70e^{-10k}$, então $k = \frac{\ln(7/4)}{10} \approx 0.056$. Para $T = 30$: $10 = 70e^{-kt}$, então $e^{-kt} = \frac{1}{7}$ e: $$t = \frac{\ln 7}{k} = \frac{10\ln 7}{\ln(7/4)} \approx 34.8 \text{ minutos}$$ **10.** A equação tem a forma $kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$ com $L = 1000$. O lado direito é uma parábola com concavidade para baixo em $P$, com raízes $0$ e $1000$, então é máximo no vértice, $P = 500$. **11.** Faça $y(y - 3) = 0$: $y = 0$ e $y = 3$. Entre eles, $y(y - 3) < 0$, então as soluções descem em direção a $0$. Acima de $3$, $y(y - 3) > 0$, então as soluções sobem, afastando-se de $3$. Abaixo de $0$, a inclinação é positiva, então as soluções sobem em direção a $0$. Isso torna $0$ estável e $3$ instável. **12.** Use $y_{n+1} = y_n + h\cdot f(x_n, y_n)$: - Passo 1: $y_1 = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1$ - Passo 2: $y_2 = 1.1 + 0.1(0.1 + 1.1) = 1.22$ A solução exata é $y = 2e^x - x - 1$, então $y(0.2) \approx 1.2428$. O método de Euler subestima aqui porque as curvas solução têm concavidade para cima. ## Erros comuns nestes exercícios - **Somar $C$ tarde demais.** No exercício 2, $y = e^{x^2} + C$ está errado. Some $C$ logo depois de integrar. - **Não separar completamente.** $\frac{dy}{dx} = x + y$ não pode ser separada. É por isso que o exercício 12 usa o método de Euler. - **Perder as unidades de tempo.** No exercício 7, divida os 25 anos pela meia-vida de 10 anos antes de usar a fórmula. - **Usar $T$ em vez de $T - 20$.** Em problemas de resfriamento, a exponencial descreve a diferença em relação à temperatura ambiente. ## Continue praticando Para exercícios ilimitados com correção imediata, experimente a [lição de equações separáveis](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations), a [lição de crescimento e decaimento](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay), a [lição de crescimento logístico](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/logistic-growth) e a [lição do método de Euler](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/eulers-method). Para ver o que um campo de direções diz antes de resolver, experimente a [lição de campos de direções](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields). ## Perguntas frequentes ### O que é uma equação diferencial separável? É uma equação que pode ser escrita como $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$, uma função de $x$ vezes uma função de $y$. Aí você pode dividir por $h(y)$ e integrar cada lado separadamente. ### Por que somar C antes de isolar y? Porque a constante é transformada junto com todo o resto. No exercício 2, $\ln|y| = x^2 + C$ vira $y = Ae^{x^2}$, onde $A = \pm e^{C}$. Somar $C$ só no final daria $e^{x^2} + C$, que é uma função diferente e errada. ### O que significa a capacidade de suporte no crescimento logístico? É o tamanho da população que o ambiente consegue sustentar. Em $\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$, a população se aproxima de $L$ e cresce mais rápido quando $P = \frac{L}{2}$.