# Exercícios de esboço de gráficos com derivadas, com respostas

> 12 exercícios de esboço de gráficos com respostas e resoluções: pontos críticos, crescimento e decrescimento, extremos, concavidade e assíntotas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-esboco-de-graficos
Atualizado: 2026-11-06

$$ f'(x) > 0 \Rightarrow \text{crescente}, \qquad f''(x) > 0 \Rightarrow \text{concavidade para cima} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 5
- **Pré-requisitos:** As regras de derivação e [limites no infinito](/practice-problems/limits-at-infinity) para as assíntotas
- **Ideia principal:** O sinal de f' diz onde f sobe ou desce. O sinal de f'' diz para que lado o gráfico se curva
- **Pratique com novos números:** [Lição de crescimento e decrescimento](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing)

## Pontos principais

- Pontos críticos são onde $f'(x) = 0$ ou $f'(x)$ não está definida. São os únicos lugares em que pode haver máximo ou mínimo local.
- Um ponto crítico só é extremo se $f'$ troca de sinal nele. Se $f'$ mantém o sinal, como em $x = 0$ no exercício 5, não é.
- Um ponto de inflexão exige que $f''$ troque de sinal em um ponto onde $f$ está definida. Uma troca de sinal através de uma assíntota não conta.

Estes **exercícios de esboço de gráficos** percorrem tudo o que você precisa para esboçar um gráfico a partir das derivadas: pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

O que cada derivada diz:

| Sinal | Significado |
| --- | --- |
| $f'(x) > 0$ | $f$ é crescente |
| $f'(x) < 0$ | $f$ é decrescente |
| $f''(x) > 0$ | $f$ tem concavidade para cima (curva como uma xícara) |
| $f''(x) < 0$ | $f$ tem concavidade para baixo (curva como um chapéu) |

Para um passo a passo completo, leia o [guia de esboço de gráficos](/blog/curve-sketching-with-derivatives).

## Exercícios

**Uma função, passo a passo: $f(x) = x^3 - 3x^2$**

1. Encontre os pontos críticos.
2. Encontre onde $f$ é crescente e onde é decrescente.
3. Encontre o máximo e o mínimo locais.
4. Encontre os intervalos de concavidade e o ponto de inflexão.

**Pontos críticos que não são extremos**

5. Encontre os extremos locais de $f(x) = x^4 - 4x^3$.
6. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^4 - 4x^3$.

**Exponenciais e funções racionais**

7. Para $f(x) = xe^{-x}$, encontre os extremos locais, o ponto de inflexão e a assíntota horizontal.
8. Para $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$, encontre os extremos locais e a assíntota horizontal.
9. Para $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}$, encontre as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e a concavidade.

**Testes e casos especiais**

10. Use o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos de $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x$.
11. Uma função tem $f'(x) = (x - 1)^2(x + 2)$. Onde $f$ tem extremos locais?
12. Encontre e classifique o ponto crítico de $f(x) = x^{2/3}$ e descreva a sua concavidade.

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $x = 0$ e $x = 2$ |
| 2 | Crescente em $(-\infty, 0)$ e $(2, \infty)$, decrescente em $(0, 2)$ |
| 3 | Máximo local $(0, 0)$, mínimo local $(2, -4)$ |
| 4 | Concavidade para baixo em $(-\infty, 1)$, para cima em $(1, \infty)$, ponto de inflexão $(1, -2)$ |
| 5 | Apenas mínimo local $(3, -27)$. $x = 0$ não é extremo |
| 6 | Para cima em $(-\infty, 0)$, para baixo em $(0, 2)$, para cima em $(2, \infty)$. Pontos de inflexão $(0, 0)$ e $(2, -16)$ |
| 7 | Máximo local $\left(1, \frac{1}{e}\right)$, ponto de inflexão $\left(2, \frac{2}{e^2}\right)$, assíntota $y = 0$ quando $x\to\infty$ |
| 8 | Mínimo local $\left(-1, -\frac{1}{2}\right)$, máximo local $\left(1, \frac{1}{2}\right)$, assíntota $y = 0$ |
| 9 | Veja a resolução 9 |
| 10 | Máximo local $(-2, 20)$, mínimo local $(1, -7)$ |
| 11 | Apenas mínimo local em $x = -2$ |
| 12 | Mínimo local em $(0, 0)$ (uma cúspide), concavidade para baixo dos dois lados |

## Resolução passo a passo

**1.** Derive e iguale a zero:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0,\; x = 2$$

**2.** Teste um número em cada intervalo:

| Intervalo | Valor de teste | Sinal de $f'$ | $f$ é |
| --- | --- | --- | --- |
| $(-\infty, 0)$ | $f'(-1) = 9$ | $+$ | crescente |
| $(0, 2)$ | $f'(1) = -3$ | $-$ | decrescente |
| $(2, \infty)$ | $f'(3) = 9$ | $+$ | crescente |

**3.** Em $x = 0$, $f'$ passa de $+$ para $-$, então há um máximo local: $f(0) = 0$. Em $x = 2$, $f'$ passa de $-$ para $+$, então há um mínimo local: $f(2) = 8 - 12 = -4$.

**4.** A segunda derivada é $f''(x) = 6x - 6$, que vale $0$ em $x = 1$. Ela é negativa para $x < 1$ e positiva para $x > 1$, então a concavidade muda. O ponto de inflexão é $(1, f(1)) = (1, -2)$.

```graph
title: 'Gráfico de f(x) = x³ − 3x²'
caption: 'O máximo local em $(0, 0)$ e o mínimo local em $(2, -4)$ vêm das trocas de sinal de $f''$. A curvatura muda no ponto de inflexão $(1, -2)$.'
x: [-1.5, 3.5]
y: [-6, 3]
functions:
  - expr: x^3 - 3x^2
    label: y = x³ − 3x²
points:
  - [0, 0, 'máximo local']
  - [2, -4, 'mínimo local']
  - [1, -2, 'inflexão']
```

**5.** Derive e fatore:

$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$

Os pontos críticos são $x = 0$ e $x = 3$. Como $4x^2 \ge 0$, o sinal de $f'$ é o sinal de $x - 3$: negativo dos dois lados de $0$ e positivo depois de $3$. Então $f$ continua decrescendo ao passar por $x = 0$, sem mudar de direção, e $x = 0$ não é extremo. Em $x = 3$ o sinal passa de $-$ para $+$, o que dá um mínimo local $f(3) = 81 - 108 = -27$.

**6.** A segunda derivada é

$$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$$

Ela é positiva em $(-\infty, 0)$, negativa em $(0, 2)$ e positiva em $(2, \infty)$. Troca de sinal nos dois zeros, então os pontos de inflexão são $(0, 0)$ e $(2, 16 - 32) = (2, -16)$.

**7.** Use a regra do produto:

$$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}$$

Como $e^{-x} > 0$, $f'$ tem o sinal de $1 - x$: positivo antes de $1$ e negativo depois. Então há um máximo local em $\left(1, \frac{1}{e}\right)$. Derive de novo:

$$f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}$$

Ela troca de sinal em $x = 2$, então o ponto de inflexão é $\left(2, \frac{2}{e^2}\right)$. Quando $x\to\infty$, $xe^{-x} = \frac{x}{e^x}\to 0$, então $y = 0$ é uma assíntota horizontal à direita.

**8.** Use a regra do quociente:

$$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

O denominador é sempre positivo, então o sinal vem de $1 - x^2$: negativo para $x < -1$, positivo em $(-1, 1)$ e negativo para $x > 1$. Isso dá um mínimo local $f(-1) = -\frac{1}{2}$ e um máximo local $f(1) = \frac{1}{2}$. O grau do denominador é maior, então $y = 0$ é a assíntota horizontal.

**9.** **Assíntotas.** O denominador $x^2 - 4$ se anula em $x = \pm 2$ e o numerador não, então há assíntotas verticais em $x = -2$ e $x = 2$. Os graus são iguais, então a assíntota horizontal é $y = 1$.

**Crescimento e decrescimento.** Use a regra do quociente:

$$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - x^2\cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-8x}{(x^2 - 4)^2}$$

O denominador é positivo, então $f' > 0$ para $x < 0$ e $f' < 0$ para $x > 0$. $f$ é crescente em $(-\infty, -2)$ e $(-2, 0)$, e decrescente em $(0, 2)$ e $(2, \infty)$. Há um máximo local em $(0, 0)$.

**Concavidade.** Derivando de novo e simplificando, obtemos

$$f''(x) = \frac{24x^2 + 32}{(x^2 - 4)^3}$$

O numerador é sempre positivo, então o sinal vem de $(x^2 - 4)^3$. $f$ tem concavidade para cima em $(-\infty, -2)$ e $(2, \infty)$, e para baixo em $(-2, 2)$. A concavidade só muda nas assíntotas, onde $f$ não está definida, então não há pontos de inflexão.

**10.** Encontre os pontos críticos:

$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x + 2)(x - 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -2,\; x = 1$$

A segunda derivada é $f''(x) = 12x + 6$.

- $f''(-2) = -18 < 0$: máximo local, $f(-2) = -16 + 12 + 24 = 20$.
- $f''(1) = 18 > 0$: mínimo local, $f(1) = 2 + 3 - 12 = -7$.

**11.** Os pontos críticos são $x = 1$ e $x = -2$. O fator $(x - 1)^2$ nunca é negativo, então o sinal de $f'$ vem de $x + 2$. Ele passa de $-$ para $+$ em $x = -2$, um mínimo local. Em $x = 1$ o sinal continua $+$ dos dois lados, então não há extremo ali.

**12.** A derivada é

$$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

Ela nunca vale $0$, mas não está definida em $x = 0$, onde $f$ está definida. Então $x = 0$ é um ponto crítico. $f' < 0$ para $x < 0$ e $f' > 0$ para $x > 0$, então $(0, 0)$ é um mínimo local. A inclinação tende a $\pm\infty$ de cada lado, o que forma uma ponta chamada cúspide. A segunda derivada é $f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-4/3}$, negativa para todo $x \ne 0$, então o gráfico tem concavidade para baixo dos dois lados.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Chamar todo ponto crítico de extremo.** Nos exercícios 5 e 11, $f'$ se anula mas mantém o sinal, então não há máximo nem mínimo.
- **Esquecer os pontos onde $f'$ não está definida.** O exercício 12 não tem solução para $f'(x) = 0$, mas mesmo assim tem um mínimo.
- **Contar uma assíntota como ponto de inflexão.** No exercício 9 a concavidade muda em $x = \pm 2$, mas $f$ não está definida ali.
- **Dar só o valor de $x$.** Um máximo ou mínimo local é um ponto. Informe também $f(c)$, como no exercício 3.

## Continue praticando

Estes 12 exercícios usam funções fixas. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a [lição de pontos críticos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points), a [lição de crescimento e decrescimento](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) e a [lição da segunda derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative). Depois use as mesmas ferramentas em problemas contextualizados com os [exercícios de otimização](/practice-problems/optimization).

## Perguntas frequentes

### Como encontrar onde uma função é crescente ou decrescente?

Calcule $f'(x)$ e seus pontos críticos e depois teste o sinal de $f'$ em cada intervalo entre eles. Onde $f' > 0$ a função é crescente, e onde $f' < 0$ ela é decrescente.

### Como encontrar pontos de inflexão?

Encontre onde $f''(x) = 0$ ou onde ela não está definida, depois verifique se $f''$ realmente troca de sinal ali e se $f$ está definida nesse ponto. Só $f''(x) = 0$ não basta: $x^4$ tem $f''(0) = 0$, mas não tem ponto de inflexão.

### Qual é a diferença entre o teste da primeira e o da segunda derivada?

O teste da primeira derivada observa o sinal de $f'$ de cada lado de um ponto crítico. O teste da segunda derivada substitui o ponto crítico em $f''$: negativo indica máximo local, positivo indica mínimo local. Se $f''(c) = 0$, o segundo teste é inconclusivo e você usa o primeiro.