# Exercícios de frações parciais resolvidos, com respostas

> 12 exercícios de decomposição em frações parciais com respostas: fatores distintos e repetidos, quadráticos irredutíveis e divisão de polinômios antes.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-fracoes-parciais
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{px + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resolução completa
- **Nível:** Cálculo 2 e AP Calculus BC
- **Você precisa saber:** Fatoração, divisão de polinômios e $\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$
- **Ideia principal:** Quebre uma fração difícil em várias frações fáceis e integre cada uma
- **Pratique com novos números:** [Lição de frações parciais](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions)

## Pontos principais

- Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, faça a divisão de polinômios primeiro.
- Dê a cada fator linear sua própria constante, a cada fator repetido um termo por potência e a cada quadrático irredutível um numerador $Bx + C$.
- Encontre as constantes rapidamente substituindo as raízes do denominador e depois iguale coeficientes para o que faltar.

Estes **exercícios de frações parciais** começam com dois fatores lineares distintos e avançam para fatores repetidos, quadráticos irredutíveis, divisão de polinômios e integrais definidas. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rápido, depois as resoluções completas.

A decomposição para cada tipo de fator no denominador:

| Fator | Termos a incluir |
| --- | --- |
| $(x - a)$ | $\dfrac{A}{x - a}$ |
| $(x - a)^2$ | $\dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{(x - a)^2}$ |
| $x^2 + bx + c$ (sem raízes reais) | $\dfrac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$ |

Para exemplos resolvidos e o raciocínio, leia o [guia de frações parciais](/blog/partial-fractions).

## Exercícios

**Fatores lineares distintos**

1. $\displaystyle\int\frac{1}{x(x + 1)}\,dx$
2. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2 - 4}\,dx$
3. $\displaystyle\int\frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)}\,dx$
4. $\displaystyle\int\frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx$

**Fatores repetidos**

5. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2(x + 1)}\,dx$
6. $\displaystyle\int\frac{3x + 5}{(x + 1)^2}\,dx$

**Quadráticos irredutíveis**

7. $\displaystyle\int\frac{1}{x(x^2 + 1)}\,dx$
8. $\displaystyle\int\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x^2 + 1)}\,dx$

**Divisão de polinômios primeiro**

9. $\displaystyle\int\frac{x^2 + 1}{x - 1}\,dx$
10. $\displaystyle\int\frac{x^3}{x^2 - 1}\,dx$

**Integrais definidas**

11. $\displaystyle\int_2^3\frac{1}{x^2 - 1}\,dx$
12. $\displaystyle\int_0^1\frac{2}{(x + 1)(x + 2)}\,dx$

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $\ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x + 1\rvert + C$ |
| 2 | $\dfrac{1}{4}\ln\left\lvert\dfrac{x - 2}{x + 2}\right\rvert + C$ |
| 3 | $2\ln\lvert x + 1\rvert + 3\ln\lvert x - 2\rvert + C$ |
| 4 | $2\ln\lvert x - 1\rvert - \ln\lvert x + 2\rvert + C$ |
| 5 | $-\ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{x} + \ln\lvert x + 1\rvert + C$ |
| 6 | $3\ln\lvert x + 1\rvert - \dfrac{2}{x + 1} + C$ |
| 7 | $\ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |
| 8 | $\dfrac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + \dfrac{1}{4}\ln(x^2 + 1) + \dfrac{1}{2}\arctan x + C$ |
| 9 | $\dfrac{x^2}{2} + x + 2\ln\lvert x - 1\rvert + C$ |
| 10 | $\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C$ |
| 11 | $\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2} \approx 0.2027$ |
| 12 | $2\ln\dfrac{4}{3} \approx 0.5754$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Escreva $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$, então $1 = A(x + 1) + Bx$. Substitua $x = 0$: $A = 1$. Substitua $x = -1$: $B = -1$:

$$\int\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}\right)dx = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$$

**2.** Fatore: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Então $1 = A(x + 2) + B(x - 2)$. Em $x = 2$, $A = \frac{1}{4}$. Em $x = -2$, $B = -\frac{1}{4}$. Junte os dois logaritmos em um só.

**3.** $5x - 1 = A(x - 2) + B(x + 1)$. Em $x = -1$: $-6 = -3A$, então $A = 2$. Em $x = 2$: $9 = 3B$, então $B = 3$.

**4.** Fatore: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$. Então $x + 5 = A(x - 1) + B(x + 2)$. Em $x = 1$: $6 = 3B$, então $B = 2$. Em $x = -2$: $3 = -3A$, então $A = -1$.

**5.** O fator $x^2$ é repetido, então escreva $\frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}$. Assim $1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2$. Em $x = 0$: $B = 1$. Em $x = -1$: $C = 1$. Igualando os termos em $x^2$: $A + C = 0$, então $A = -1$:

$$\int\left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1}\right)dx = -\ln|x| - \frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C$$

**6.** Escreva o numerador em função de $x + 1$: $3x + 5 = 3(x + 1) + 2$. Então a fração é $\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2}$. O segundo termo se integra pela regra da potência e dá $-\frac{2}{x + 1}$.

**7.** Escreva $\frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$, então $1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$. Em $x = 0$: $A = 1$. Igualando $x^2$: $A + B = 0$, então $B = -1$. Igualando $x$: $C = 0$. O termo $\frac{-x}{x^2 + 1}$ se integra como $-\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)$.

**8.** Escreva $\frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$, então $x^2 + x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1)$. Em $x = -1$: $1 = 2A$, então $A = \frac{1}{2}$. Igualando $x^2$: $1 = A + B$, então $B = \frac{1}{2}$. Igualando os termos constantes: $1 = A + C$, então $C = \frac{1}{2}$. Assim:

$$\int\left(\frac{1/2}{x + 1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2 + 1}\right)dx$$

As três partes dão um logaritmo, um logaritmo por substituição e um arco tangente.

**9.** O numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, então divida: $x^2 + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2$. Assim o integrando é $x + 1 + \frac{2}{x - 1}$.

**10.** Divida: $x^3 = x(x^2 - 1) + x$, então o integrando é $x + \frac{x}{x^2 - 1}$. O segundo termo é uma substituição com $u = x^2 - 1$, que dá $\frac{1}{2}\ln|x^2 - 1|$.

**11.** Como no exercício 2, $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$:

$$\frac{1}{2}\left[\ln\frac{x - 1}{x + 1}\right]_2^3 = \frac{1}{2}\left(\ln\frac{1}{2} - \ln\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$$

**12.** $\frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x + 2}$:

$$2\Big[\ln(x + 1) - \ln(x + 2)\Big]_0^1 = 2\big[(\ln 2 - \ln 3) - (0 - \ln 2)\big] = 2\ln\frac{4}{3}$$

## Erros comuns nestes exercícios

- **Pular a divisão de polinômios.** No exercício 9, decompor $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ sem dividir antes leva a um sistema sem solução.
- **Um só termo para um fator repetido.** $\frac{1}{x^2(x + 1)}$ precisa tanto de $\frac{A}{x}$ quanto de $\frac{B}{x^2}$.
- **Uma constante sobre um quadrático.** Um quadrático irredutível precisa de $Bx + C$ no numerador, não só de $B$.
- **Integrar $\frac{1}{(x + 1)^2}$ como logaritmo.** É uma potência: $\int(x + 1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x + 1}$.

## Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a [lição de frações parciais](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) e a [lição de fatores repetidos](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions-repeated). Veja também a [integral de 1/(x² − 1)](/integrals/1-over-x-squared-minus-1). Depois junte todos os métodos no [conjunto de prática de técnicas](/learn/calculus-2/integration-techniques/techniques-practice).

## Perguntas frequentes

### Quando usar frações parciais?

Use para uma função racional, um polinômio dividido por outro, quando o denominador se fatora e nenhuma substituição simples funciona. Se o numerador for a derivada do denominador, como em $\frac{2x}{x^2 + 1}$, use substituição.

### O que é o método de cobrir (de Heaviside)?

Para um fator linear distinto $(x - a)$, cubra-o na fração original e substitua $x = a$ no que sobrou. O resultado é a constante sobre $(x - a)$. É o mesmo que substituir a raiz depois de eliminar os denominadores.

### Como lidar com um fator repetido como (x+1)²?

Inclua um termo para cada potência: $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2}$. O termo ao quadrado se integra pela regra da potência e dá $-\frac{B}{x + 1}$, não um logaritmo. Os exercícios 5 e 6 mostram isso.