# Exercícios de integração por partes resolvidos, com respostas > 12 exercícios de integração por partes com respostas e resoluções completas: x eˣ, ln x, arctg x, partes repetidas e o ciclo de e^x sen x. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-integracao-por-partes Atualizado: 2026-11-06 $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 2 e AP Calculus BC, Unidade 6 - **Pré-requisitos:** [Antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives) e [substituição](/practice-problems/u-substitution) - **Ideia principal:** Escolha $u$ de modo que fique mais simples ao derivar e $dv$ de modo que seja fácil de integrar - **Pratique com novos números:** [Lição de integração por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) ## Pontos principais - Use a regra LIATE para escolher $u$: logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica, exponencial. O tipo que aparece antes costuma ser o $u$. - Para $x^n$ vezes $e^x$, $\sin x$ ou $\cos x$, aplique partes $n$ vezes. Cada rodada diminui a potência em um. - Para $e^{ax}\sin bx$ ou $e^{ax}\cos bx$, aplique partes duas vezes e isole a integral que reaparece. Estes **exercícios de integração por partes** começam com uma única aplicação de partes e avançam para partes repetidas, o método tabular e integrais que voltam a si mesmas. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rapidamente, e depois as resoluções completas. A fórmula vem da regra do produto: $$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$ Escolha $u$ e $dv$, encontre $du$ e $v$ e depois preencha a fórmula. Para saber mais sobre a fórmula, leia a [regra da integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule). ## Exercícios **Uma aplicação de partes** 1. $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$ 2. $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ 3. $\displaystyle\int \ln x\,dx$ 4. $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ 5. $\displaystyle\int x\sin(2x)\,dx$ 6. $\displaystyle\int \arctan x\,dx$ **Partes repetidas** 7. $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$ 8. $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx$ **Integrais que voltam a si mesmas** 9. $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ 10. $\displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx$ **Integrais definidas** 11. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$ 12. $\displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx$ ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $(x - 1)e^x + C$ | | 2 | $x\sin x + \cos x + C$ | | 3 | $x\ln x - x + C$ | | 4 | $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$ | | 5 | $-\dfrac{x\cos(2x)}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4} + C$ | | 6 | $x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$ | | 7 | $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$ | | 8 | $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$ | | 9 | $\dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$ | | 10 | $\dfrac{e^{2x}(2\cos x + \sin x)}{5} + C$ | | 11 | $1$ | | 12 | $\dfrac{e^2 + 1}{4}$ | ## Resolução passo a passo **1.** Faça $u = x$ e $dv = e^x\,dx$, então $du = dx$ e $v = e^x$: $$x e^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$$ **2.** Faça $u = x$ e $dv = \cos x\,dx$, então $v = \sin x$: $$x\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$ **3.** Faça $u = \ln x$ e $dv = dx$, então $du = \frac{1}{x}dx$ e $v = x$: $$x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$ **4.** Logaritmos vêm primeiro na LIATE, então $u = \ln x$ e $dv = x\,dx$, o que dá $v = \frac{x^2}{2}$: $$\frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$ **5.** Faça $u = x$ e $dv = \sin(2x)\,dx$, então $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$: $$-\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx = -\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C$$ **6.** Faça $u = \arctan x$ e $dv = dx$, então $du = \frac{1}{1+x^2}dx$ e $v = x$: $$x\arctan x - \int\frac{x}{1 + x^2}\,dx$$ A última integral é uma substituição com $u = 1 + x^2$, que dá $\frac{1}{2}\ln(1 + x^2)$. **7.** Use o método tabular. Derivadas de $x^2$: $x^2, 2x, 2, 0$. Integrais de $e^x$: $e^x, e^x, e^x$. Multiplique na diagonal com os sinais $+, -, +$: $$x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$ **8.** Método tabular de novo. Derivadas: $x^2, 2x, 2, 0$. Integrais de $\cos x$: $\sin x, -\cos x, -\sin x$. Com os sinais $+, -, +$: $$x^2\sin x - 2x(-\cos x) + 2(-\sin x) = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$$ **9.** Chame a integral de $I$. Com $u = \sin x$ e $dv = e^x\,dx$: $I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$. Aplique partes de novo com $u = \cos x$: $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I$. Então: $$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I \quad\Rightarrow\quad I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$ **10.** Seja $I = \int e^{2x}\cos x\,dx$. Tome $u = e^{2x}$ nas duas vezes. Primeiro, $I = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx$. Depois, $\int e^{2x}\sin x\,dx = -e^{2x}\cos x + 2I$. Juntando tudo: $$I = e^{2x}\sin x + 2e^{2x}\cos x - 4I \quad\Rightarrow\quad 5I = e^{2x}(\sin x + 2\cos x)$$ **11.** Pelo exercício 1: $$\big[(x - 1)e^x\big]_0^1 = 0 - (-1) = 1$$ **12.** Pelo exercício 4, usando $\ln e = 1$ e $\ln 1 = 0$: $$\left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$$ ## Erros comuns nestes exercícios - **Escolher $u$ ao contrário.** No exercício 4, tomar $u = x$ e $dv = \ln x\,dx$ significa que você já precisaria saber $\int\ln x\,dx$. Siga a LIATE. - **Erros de sinal na segunda rodada.** Nos exercícios 7 e 8, o sinal de menos na frente de $\int v\,du$ vale para tudo o que vem depois. O método tabular mantém os sinais em ordem. - **Trocar o tipo de $u$ e $dv$ no meio do ciclo.** No exercício 10, se você toma $u = e^{2x}$ na primeira vez e $u = \sin x$ na segunda, desfaz o primeiro passo e chega a $I = I$. - **Esquecer o $\frac{1}{2}$ em $v$.** Quando $dv = \sin(2x)\,dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$, não $-\cos(2x)$. ## Continue praticando Para exercícios ilimitados com novos números e correção imediata, experimente a [lição de integração por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) e a [lição de partes repetidas e LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate). Para mais exemplos, veja a [integral de x e^x](/integrals/x-e-to-the-x), a [integral de ln x](/integrals/ln-x) e o [guia de integração por partes](/blog/integration-by-parts). Depois experimente os [exercícios de integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals). ## Perguntas frequentes ### Como escolher u e dv? Escolha $u$ de modo que $du$ fique mais simples e $dv$ de modo que você consiga integrá-lo. A regra LIATE é um guia rápido: primeiro logaritmos, depois inversas trigonométricas, algébricas, trigonométricas e exponenciais. Em $\int x\ln x\,dx$, $u = \ln x$, porque $\ln x$ é difícil de integrar, mas fácil de derivar. ### Como integrar ln x? Trate-o como $\ln x \cdot 1$, com $u = \ln x$ e $dv = dx$. Então $\int\ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$. O exercício 3 mostra isso. ### O que é o método tabular? Um atalho para partes repetidas quando $u$ é um polinômio. Liste as derivadas de $u$ em uma coluna até chegar a $0$, as integrais de $dv$ em outra, multiplique na diagonal e alterne os sinais $+, -, +, \dots$ O exercício 7 mostra o método.